Uma onda estacionária em uma corda é descrita por:
em unidades do S.I. Para
, (d) para
, quais são o primeiro, segundo e o terceiro instante em que todos os pontos da corda possuem velocidade transversal nula.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos usar para resolvê-lo. Temos uma onda estacionária na corda descrita pela função $ y(x, t) = 0,040 \sin(5 \pi x) \cos(40 \pi t) $. O objetivo é encontrar os três primeiros instantes de tempo, para $ t > 0 $, em que todos os pontos da corda têm velocidade transversal igual a zero. Para isso, vamos precisar saber como calcular a velocidade transversal de uma onda e descobrir quando essa velocidade desaparece em toda a corda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade transversal. A velocidade transversal de um ponto na corda é a rapidez com que aquele ponto está se movendo para cima ou para baixo. Matemáticamente, essa velocidade é a derivada da posição $ y(x, t) $ em relação ao tempo $ t $. Então, vamos calcular $ v(x, t) = \frac{\partial y}{\partial t} $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ y(x, t) $ em relação a $ t $:
Usando a regra da derivada, temos:
Simplificando:
Passo 4
Queremos que a velocidade transversal seja zero para todos os pontos da corda, ou seja, para todo $ x \geq 0 $. Observamos que a expressão para $ v(x, t) $ depende de $ \sin(5 \pi x) $ e $ \sin(40 \pi t) $.
Para que $ v(x, t) = 0 $ para todos os $ x $, a única maneira é que $ \sin(40 \pi t) = 0 $. Isso porque $ \sin(5 \pi x) $ não será zero para todo $ x $, a menos que a corda esteja sempre em repouso, o que não é o caso aqui.
Passo 5
Então, precisamos encontrar os valores de $ t $ que satisfazem $ \sin(40 \pi t) = 0 $. Sabemos que o seno é zero quando seu argumento é múltiplo inteiro de $ \pi $:
Dividindo ambos os lados por $ 40 \pi $:
Passo 6
Como estamos interessados apenas em $ t > 0 $, consideramos $ n = 1, 2, 3, ··· $. Portanto, os primeiros três instantes são:
Resposta
Os três primeiros instantes em que todos os pontos da corda têm velocidade transversal nula são: