Um fio recto muito comprido está carregado com uma densidade linear de carga constante lambda. Para pontos que estão a uma distância do fio (medida na perpendicular) que é muito inferior à sua distância a qualquer das extremidades do fio, podemos, para calcular o campo eléctrico, fazer a aproximação de que o fio é infinito. Nessas condições:
Use a lei de Coulomb para determinar o campo eléctrico a uma distância r do fio (coordenada cilíndrica).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um fio bem comprido que tem uma carga distribuída de forma constante ao longo dele, chamada de densidade linear de carga, representada por lambda. A gente precisa calcular o campo elétrico gerado por esse fio numa distância r dele, usando a Lei de Coulomb. Para isso, vamos considerar o fio como se fosse infinito, já que r é muito menor que a distância até as extremidades do fio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Lei de Coulomb. Ela nos diz como calcular o campo elétrico produzido por uma carga pontual. A fórmula é:
E = k qr^2 r
onde k é a constante eletrostática, q é a carga, r é a distância até a carga, e r é o vetor unitário na direção de r. No nosso caso, o fio não é uma carga pontual, mas uma distribuição contínua de carga.

Passo 3

Como o fio é muito longo (infinito), podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Vamos imaginar que o fio está alinhado no eixo z. Queremos calcular o campo elétrico em um ponto a uma distância r do fio, na direção radial. Devido à simetria do problema, o campo elétrico vai ser sempre radial e ter a mesma magnitude em todos os pontos a essa distância r.

Passo 4

Vamos considerar um pequeno segmento do fio com comprimento dz. A carga nesse segmento é dq = lambda dz, onde lambda é a densidade linear de carga. A contribuição de campo elétrico desse segmento no ponto onde estamos vai ser:
dE = k dqs^2 s
onde s é a distância do segmento ao ponto, que pelo teorema de Pitágoras é s = raizr^2 + z^2. Porém, como o fio é infinito, vamos integrar de z = -infty a z = +infty.

Passo 5

Devido à simetria, as componentes verticais dos campos elétricos vão se cancelar, restando apenas a componente radial. Então, a componente radial do campo elétrico é:
dEr = dE costheta = k lambda dzr^2 + z^2 cdot rraizr^2 + z^2 = k lambda r , dz(r^2 + z^2)^3/2
Agora, vamos integrar essa expressão de z = -infty a z = +infty:
Er = k lambda r integral-infty^+infty dz(r^2 + z^2)^3/2
Essa integral é conhecida e seu resultado é:
integral-infty^+infty dz(r^2 + z^2)^3/2 = 2r^2
Portanto:
Er = k lambda r cdot 2r^2 = 2k lambdar

Resposta

O campo elétrico a uma distância r do fio é:
E = lambda2pi varepsilon0 r

Exercícios relacionados