Um fio recto muito comprido está carregado com uma densidade linear de carga constante
. Para pontos que estão a uma distância do fio (medida na perpendicular) que é muito inferior à sua distância a qualquer das extremidades do fio, podemos, para calcular o campo eléctrico, fazer a aproximação de que o fio é infinito. Nessas condições:
Use a lei de Coulomb para determinar o campo eléctrico a uma distância
do fio (coordenada cilíndrica).
Use a lei de Coulomb para determinar o campo eléctrico a uma distância
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um fio bem comprido que tem uma carga distribuída de forma constante ao longo dele, chamada de densidade linear de carga, representada por
. A gente precisa calcular o campo elétrico gerado por esse fio numa distância
dele, usando a Lei de Coulomb. Para isso, vamos considerar o fio como se fosse infinito, já que
é muito menor que a distância até as extremidades do fio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Lei de Coulomb. Ela nos diz como calcular o campo elétrico produzido por uma carga pontual. A fórmula é:
onde
é a constante eletrostática,
é a carga,
é a distância até a carga, e
é o vetor unitário na direção de
. No nosso caso, o fio não é uma carga pontual, mas uma distribuição contínua de carga.
Passo 3
Como o fio é muito longo (infinito), podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Vamos imaginar que o fio está alinhado no eixo z. Queremos calcular o campo elétrico em um ponto a uma distância
do fio, na direção radial. Devido à simetria do problema, o campo elétrico vai ser sempre radial e ter a mesma magnitude em todos os pontos a essa distância
.
Passo 4
Vamos considerar um pequeno segmento do fio com comprimento
. A carga nesse segmento é
, onde
é a densidade linear de carga. A contribuição de campo elétrico desse segmento no ponto onde estamos vai ser:
onde
é a distância do segmento ao ponto, que pelo teorema de Pitágoras é
. Porém, como o fio é infinito, vamos integrar de
a
.
Passo 5
Devido à simetria, as componentes verticais dos campos elétricos vão se cancelar, restando apenas a componente radial. Então, a componente radial do campo elétrico é:
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
:
Essa integral é conhecida e seu resultado é:
Portanto:
Resposta
O campo elétrico a uma distância
do fio é: