Um fio retilíneo de comprimento L está no plano xy e por ele passa uma corrente constante I. Uma extremidade está na origem e a outra extremidade está no ponto (0, L) do plano. A corrente I é conduzida no sentido y positivo. O campo magnético no plano xy não é uniforme, de modo que sua componente y é B z / L, sua componente z é By/L e sua componente x é nula (sendo B= constante). Ou seja, o campo magnético é uma função das coordenadas z e y. Sobre a força magnética resultante sobre o fio, é correto afirmar que

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um fio reto no plano xy com comprimento L, passando uma corrente constante I de baixo para cima (sentido y positivo). O campo magnético nesse plano não é uniforme e varia com as coordenadas y e z. Precisamos descobrir qual é a força magnética resultante nesse fio.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de força magnética em correntes e entender como o campo magnético varia ao longo do fio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força magnética F em um segmento de fio com corrente é dada pela fórmula:
F = I integral dl times B
Aqui, dl é um elemento de comprimento do fio na direção da corrente, e B é o campo magnético naquele ponto.
No nosso caso, o fio está no plano xy, indo de (0,0) a (0,L), então dl está na direção y, ou seja, dl = dy , j.

Passo 3

O campo magnético B é dado por:
B = (0, B zL, B yL)
Mas, como o fio está no plano xy, a coordenada z é sempre zero ( z = 0). Assim, o campo magnético no fio fica:
B = (0, 0, B yL)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial dl times B:
dl times B = dy , j times (0, 0, B yL) = dy (j times k) B yL
Sabemos que j times k = -i, então:
dl times B = - dy , i B yL

Passo 5

A força magnética total F é então:
F = I integral dl times B = -I integral0^L B yL dy , i
Vamos resolver a integral:
integral0^L y , dy = [y^22]0^L = L^22
Substituindo de volta:
F = -I cdot BL cdot L^22 , i = -I B L2 , i

Resposta

A força magnética resultante sobre o fio é -I B L2 na direção negativa do eixo x, ou seja:
F = -I B L2 , i

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