Um fio retilíneo infinito ao longo do eixo z possui densidade linear de carga \lambda=50 \mathrm{nC} / \mathrm{m} e se move com velocidade constante \vec{v}=20 \times 10^{6} \hat{k} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine:
(a) O campo elétrico no ponto P(5 \mathrm{~cm}, 0,0)
(b) O campo magnético no ponto P
(c) A razão B / E e compare com 1 / c

Passo 1

O enunciado dá um fio retilíneo infinito ao longo do eixo z com densidade linear de carga \lambda=50\\ \mathrm{nC/m} e que se move com velocidade constante \vec{v}=20\times10^{6}\,\hat{k}\\ \mathrm{m/s}. Pede-se:
(a) o campo elétrico no ponto P(5\\ \mathrm{cm},0,0);
(b) o campo magnético no ponto P;
(c) a razão B/E e comparação com 1/c.
Informações numéricas que usaremos explicitamente:
\lambda=50\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m},\qquad \vec{v}=2{,}0\times10^{7}\,\hat{k}\\ \mathrm{m/s},\qquad r=5\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
Constantes físicas necessárias:
\varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},\qquad \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m},\qquad c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\approx3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Cálculo do campo elétrico: usar Gauss (fácil e padrão para fio infinito). Escolhe-se um cilindro Gaussiano coaxial de raio r e comprimento L. Pela lei de Gauss:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
O fluxo passa apenas pela superfície lateral do cilindro, onde \vec{E} é radial e constante em módulo. Assim
E\,(2\pi r L)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}.
Cancelando L e isolando E obtemos a fórmula clássica para fio infinito:
\boxed{E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}}.
Explicando as variáveis: E é o módulo do campo elétrico radial, \lambda é a carga por unidade de comprimento (C/m), \varepsilon_0 a permissividade do vácuo e r a distância radial ao fio.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números dados:
E=\frac{50\times10^{-9}}{2\pi\,(8{,}854\times10^{-12})\,(0{,}05)}\\ \mathrm{V/m}.
Vamos calcular por etapas:
2\pi\varepsilon_0\approx 6{,}2831853\times 8{,}854\times10^{-12}\approx5{,}563\times10^{-11},
2\pi\varepsilon_0 r \approx 5{,}563\times10^{-11}\times0{,}05\approx2{,}7816\times10^{-12},
E\approx\frac{50\times10^{-9}}{2{,}7816\times10^{-12}}\approx1{,}7974\times10^{4}\\ \mathrm{V/m}.
Direção: como a carga é positiva (assumida pela \lambda>0), o campo elétrico aponta radialmente para fora do fio; no ponto P(5\\ \mathrm{cm},0,0) isso é na direção +\hat{i}. Logo
\boxed{\vec{E}\approx1{,}80\times10^{4}\,\hat{i}\\ \mathrm{V/m}.}

Passo 4

Cálculo do campo magnético: cargas em movimento correspondem a uma corrente linear. A corrente associada ao fio é
I=\lambda v,
pois em cada metro há \lambda coulombs que passam por uma secção por segundo a velocidade v. Para um fio retilíneo infinito, pela lei de Ampère (ou Biot–Savart), o módulo do campo magnético a distância r é
\boxed{B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}=\frac{\mu_0 \lambda v}{2\pi r}}.
Aqui \mu_0 é a permeabilidade do vácuo; a direção é azimutal seguindo a regra da mão direita: para corrente ao longo de +\hat{k}, em x>0 o campo aponta em +\hat{j}.

Passo 5

Calculando numericamente: primeiro note que
I=\lambda v=(50\times10^{-9})\times(2{,}0\times10^{7})=1{,}0\\ \mathrm{A}.
Assim
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}=\frac{2\times10^{-7}\times I}{r}
porque \mu_0/(2\pi)=(4\pi\times10^{-7})/(2\pi)=2\times10^{-7}. Substituindo I=1{,}0\\ \mathrm{A} e r=0{,}05\\ \mathrm{m}:
B=\frac{2\times10^{-7}\times1}{0{,}05}=4\times10^{-6}\\ \mathrm{T}=4{,}0\\ \mu\mathrm{T}.
Direção conforme dito: \hat{j} (positivo em y no ponto P). Portanto
\boxed{\vec{B}=4{,}0\times10^{-6}\,\hat{j}\\ \mathrm{T}.}

Passo 6

Razão B/E — cálculo simbólico e numérico. Usando as fórmulas:
E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r},\qquad B=\frac{\mu_0\lambda v}{2\pi r}.
Dividindo:
\frac{B}{E}=\mu_0\varepsilon_0\,v.
Mas \mu_0\varepsilon_0=1/c^{2}. Portanto
\boxed{\frac{B}{E}=\frac{v}{c^{2}}.}
Substituindo numericamente:
\frac{B}{E}\approx\frac{2{,}0\times10^{7}}{(2{,}998\times10^{8})^{2}}\approx2{,}226\times10^{-10}\\ \mathrm{s/m}.
Comparação com 1/c:
\frac{1}{c}\approx3{,}336\times10^{-9}\\ \mathrm{s/m},
e portanto
\frac{B/E}{1/c}=\frac{v}{c}\approx\frac{2{,}0\times10^{7}}{2{,}998\times10^{8}}\approx0{,}0667.
Isto mostra que B/E é menor que 1/c por um fator igual a v/c (aqui cerca de 0{,}067), o que era de se esperar: para campos gerados por cargas em movimento não relativístico tem-se B\sim(v/c^{2})E, muito menor que E/c quando v\ll c.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{E}\approx1{,}80\times10^{4}\,\hat{i}\\ \mathrm{V/m}\n
(b) \displaystyle \vec{B}=4{,}0\times10^{-6}\,\hat{j}\\ \mathrm{T}\n
(c) \displaystyle \frac{B}{E}\approx2{,}226\times10^{-10}\\ \mathrm{s/m}; \displaystyle \frac{1}{c}\approx3{,}336\times10^{-9}\\ \mathrm{s/m}, portanto \displaystyle \frac{B}{E}=\frac{v}{c}\cdot\frac{1}{c}\approx0{,}0667\!\left(\frac{1}{c}\right), isto é, B/E é menor que 1/c (por um fator v/c).

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