Uma haste muito longa e fina que se encontra ao longo do eixo
tem uma densidade linear de carga de
. A haste se desloca na direção
com velocidade
. Encontre:
(a) o campo elétrico que a haste cria no ponto (
)
(b) o campo magnético que ela cria no mesmo ponto
(c) a força exercida sobre um elétron nesse ponto quando sua velocidade é de
(a) o campo elétrico que a haste cria no ponto (
(b) o campo magnético que ela cria no mesmo ponto
(c) a força exercida sobre um elétron nesse ponto quando sua velocidade é de
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei todos estes números do enunciado):
-
Pedidos:
(a) o campo elétrico no ponto;
(b) o campo magnético no mesmo ponto;
(c) a força sobre um elétron nesse ponto quando sua velocidade é. -
Dados:
(densidade linear de carga da haste).
A haste está ao longo do eixoe move-se com velocidade .
O ponto tem coordenadas, logo a distância perpendicular da haste até o ponto é .
A carga do elétron é.
Constantes usadas:e .
Passo 2
Campo elétrico criado por uma haste muito longa e fina (aproximadamente infinita): uso da Lei de Gauss e resultado padrão.
- Ideia física e fórmula: para uma linha de carga infinita com densidade linear
, o campo elétrico a uma distância perpendicular é radial (no plano perpendicular à haste) e tem módulo
Aqui:
-
é a densidade linear de carga (C/m), -
é a permissividade do vácuo (F/m), -
é a distância perpendicular até a linha (m). -
Por que essa fórmula? Breve explicação didática: colocar um cilindro gaussiano coaxial com a haste de comprimento
. O campo é constante na superfície lateral e perpendicular a ela; o fluxo elétrico total é . A carga encerrada é . Pela Lei de Gauss , daí a fórmula acima. -
Aplicando aos números:Calcule o denominador passo a passo:Agora o quociente:
-
Direção: a densidade
é positiva, então o campo elétrico é radialmente para fora da haste. No ponto dado ( ), isso significa direção positiva . Portanto
Passo 3
Campo magnético criado pela haste em movimento: converter a haste em uma corrente e aplicar lei de Ampère.
- Transformação em corrente: uma linha de carga com densidade
movendo-se com velocidade corresponde a uma corrente linear
Aplicando os números:
- Campo magnético de um fio longo retilíneo (lei de Ampère): o módulo do campo a distância
é
Aqui:
-
, -
é a corrente (A), -
é distância perpendicular (m). -
Cálculo numérico:
- Direção: usar a regra da mão direita ou fazer produto vetorial elementar. Para corrente ao longo de
, o campo em um ponto na direção (isto é, em ) aponta ao longo de . Portanto
Passo 4
Força sobre o elétron: uso da força de Lorentz e cálculo vetorial.
- Fórmula da força de Lorentz:
Aqui
(negativo),
calculado no passo 2,
no passo 3, e a velocidade do elétron dada no enunciado é
- Calcular
. Usamos e . Então
logo
Calcule o produto:
Portanto
- Agora
tem componente :
(usar o valor numérico
do passo 2 antes do arredondamento).
- Força sobre o elétron:
Calcule a magnitude:
Portanto a força é aproximadamente na direção
(isto é, para baixo, porque o campo elétrico empurra o elétron para baixo e a força magnética parcialmente compensa empurrando para cima; neto é para baixo).
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)