Uma haste muito longa e fina que se encontra ao longo do eixo x tem uma densidade linear de carga de 35 \mathrm{nC} / \mathrm{m}. A haste se desloca na direção x com velocidade 15,0 \mathrm{Mm} / \mathrm{s}. Encontre:
(a) o campo elétrico que a haste cria no ponto ( 0,20 \mathrm{~cm}, 0 )
(b) o campo magnético que ela cria no mesmo ponto
(c) a força exercida sobre um elétron nesse ponto quando sua velocidade é de 240 \hat{i} \mathrm{Mm} / \mathrm{s}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei todos estes números do enunciado):
  • Pedidos:
    (a) o campo elétrico no ponto (0,\,0{,}20\\ \mathrm{m},\,0);
    (b) o campo magnético no mesmo ponto;
    (c) a força sobre um elétron nesse ponto quando sua velocidade é \,240\hat{i}\\ \mathrm{Mm/s}.
  • Dados:
    \lambda = 35\\ \mathrm{nC/m} = 35\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m} (densidade linear de carga da haste).
    A haste está ao longo do eixo x e move-se com velocidade \,v_{\text{haste}} = 15{,}0\\ \mathrm{Mm/s} = 15{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
    O ponto tem coordenadas (0,\,0{,}20\\ \mathrm{m},\,0), logo a distância perpendicular da haste até o ponto é r=0{,}20\\ \mathrm{m}.
    A carga do elétron é q_e = -e = -1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
    Constantes usadas: \varepsilon_0 = 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} e \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.

Passo 2

Campo elétrico criado por uma haste muito longa e fina (aproximadamente infinita): uso da Lei de Gauss e resultado padrão.
  • Ideia física e fórmula: para uma linha de carga infinita com densidade linear \lambda, o campo elétrico a uma distância perpendicular r é radial (no plano perpendicular à haste) e tem módulo
E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}.
Aqui:
  • \lambda é a densidade linear de carga (C/m),
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (F/m),
  • r é a distância perpendicular até a linha (m).
  • Por que essa fórmula? Breve explicação didática: colocar um cilindro gaussiano coaxial com a haste de comprimento L. O campo é constante na superfície lateral e perpendicular a ela; o fluxo elétrico total é E(2\pi r L). A carga encerrada é \lambda L. Pela Lei de Gauss E(2\pi r L)=\lambda L/\varepsilon_0, daí a fórmula acima.
  • Aplicando aos números:
    E=\frac{35\times10^{-9}}{2\pi(8{,}854187817\times10^{-12})(0{,}20)}\\ \mathrm{N/C}.
    Calcule o denominador passo a passo:
    2\pi\varepsilon_0 r = 2\pi\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}\cdot0{,}20 \approx 1{,}11265\times10^{-11}.
    Agora o quociente:
    E\approx\frac{35\times10^{-9}}{1{,}11265\times10^{-11}}\approx 3{,}15\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}.
  • Direção: a densidade \lambda é positiva, então o campo elétrico é radialmente para fora da haste. No ponto dado ( y>0), isso significa direção positiva \hat{j}. Portanto
\mathbf{E}\approx 3{,}15\times10^{3}\,\hat{j}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 3

Campo magnético criado pela haste em movimento: converter a haste em uma corrente e aplicar lei de Ampère.
  • Transformação em corrente: uma linha de carga com densidade \lambda movendo-se com velocidade v_{\text{haste}} corresponde a uma corrente linear
I=\lambda v_{\text{haste}}.
Aplicando os números:
I=(35\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m})\cdot(15{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{m/s})=0{,}525\\ \mathrm{A}.
  • Campo magnético de um fio longo retilíneo (lei de Ampère): o módulo do campo a distância r é
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
Aqui:
  • \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A},
  • I é a corrente (A),
  • r é distância perpendicular (m).
  • Cálculo numérico:
    B=\frac{(4\pi\times10^{-7})\cdot 0{,}525}{2\pi\cdot0{,}20} = \frac{2\times10^{-7}\cdot 0{,}525}{0{,}20}.
B = 2\times10^{-7}\cdot\frac{0{,}525}{0{,}20}=2\times10^{-7}\cdot2{,}625=5{,}25\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
  • Direção: usar a regra da mão direita ou fazer produto vetorial elementar. Para corrente ao longo de +\hat{i}, o campo em um ponto na direção +\hat{j} (isto é, em y>0) aponta ao longo de +\hat{k}. Portanto
\mathbf{B}\approx 5{,}25\times10^{-7}\,\hat{k}\\ \mathrm{T}.

Passo 4

Força sobre o elétron: uso da força de Lorentz e cálculo vetorial.
  • Fórmula da força de Lorentz:
\mathbf{F}=q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right).
Aqui q=q_e=-e (negativo), \mathbf{E} calculado no passo 2, \mathbf{B} no passo 3, e a velocidade do elétron dada no enunciado é
\mathbf{v}_e = 240\\ \hat{i}\\ \mathrm{Mm/s}=240\times10^{6}\\ \hat{i}\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcular \mathbf{v}_e\times\mathbf{B}. Usamos \mathbf{v}_e = v\hat{i} e \mathbf{B}=B\hat{k}. Então
\hat{i}\times\hat{k}=-\hat{j},
logo
\mathbf{v}_e\times\mathbf{B} = (240\times10^{6})\,\hat{i}\times\big(5{,}25\times10^{-7}\,\hat{k}\big) = -(240\times10^{6})(5{,}25\times10^{-7})\,\hat{j}.
Calcule o produto:
vB=(240\times10^{6})(5{,}25\times10^{-7})=240\cdot5{,}25\times10^{-1}=126{,}0\\ \mathrm{N/C}.
Portanto
\mathbf{v}_e\times\mathbf{B} = -126{,}0\,\hat{j}\\ \mathrm{m/s\cdot T} \;(\text{ou N/C em unidades de campo elétrico}).é
  • Agora \mathbf{E}+\mathbf{v}_e\times\mathbf{B} tem componente y:
E_y + (v\times B)_y = 3145{,}6 - 126{,}0 \approx 3019{,}6\\ \mathrm{N/C}.
(usar o valor numérico E\approx3145{,}6\\ \mathrm{N/C} do passo 2 antes do arredondamento).
  • Força sobre o elétron:
\mathbf{F} = q_e\big(0\,\hat{i} + 3019{,}6\,\hat{j} + 0\,\hat{k}\big) = -e\cdot3019{,}6\,\hat{j}.
Calcule a magnitude:
F_y = -1{,}602176634\times10^{-19}\cdot3019{,}6 \approx -4{,}84\times10^{-16}\\ \mathrm{N}.
Portanto a força é aproximadamente na direção -\hat{j} (isto é, para baixo, porque o campo elétrico empurra o elétron para baixo e a força magnética parcialmente compensa empurrando para cima; neto é para baixo).

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}\approx 3{,}15\times10^{3}\,\hat{j}\\ \mathrm{N/C}\n
(b) \displaystyle \mathbf{B}\approx 5{,}25\times10^{-7}\,\hat{k}\\ \mathrm{T}\n
(c) \displaystyle \mathbf{F}\approx -4{,}84\times10^{-16}\,\hat{j}\\ \mathrm{N}

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