Um capacitor de placas paralelas circulares de raio
e separação
está sendo carregado por uma corrente constante
. Determine:
(a) A taxa de variação do campo elétrico entre as placas
(b) A corrente de deslocamento
(c) O campo magnético a uma distância
do eixo central
(a) A taxa de variação do campo elétrico entre as placas
(b) A corrente de deslocamento
(c) O campo magnético a uma distância
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os números do enunciado):
- Raio das placas:
. - Separação das placas:
(valor informado; não será necessário para todas as partes). - Corrente de carga (constante):
. - Quer-se:
(a) a taxa de variação do campo elétrico entre as placas, isto é;
(b) a corrente de deslocamento (displacement current);
(c) o campo magnético a uma distânciado eixo central (ou seja ).
Passo 2
Conceitos fundamentais que vou usar (explicação didática e intuitiva):
- Campo elétrico entre placas paralelas carregadas: para placas circulares suficientemente próximas, o campo entre elas pode ser considerado aproximadamente uniforme e perpendicular às placas. O fluxo elétrico através de uma área
é
quando
é aproximadamente uniforme e aponta perpendicularmente à área.
- Corrente de deslocamento (Maxwell): Maxwell completou a forma de Ampère dizendo que uma variação temporal do fluxo elétrico produz um termo análogo à corrente elétrica real. A corrente de deslocamento é definida por
onde
é a permissividade do vácuo (
). Esse termo garante conservação de corrente e é responsável pelo campo magnético entre as placas quando o capacitor está sendo carregado.
- Lei de Ampère-Maxwell (em forma integral): para um contorno circular concêntrico com o eixo do capacitor, o campo magnético tangencial
satisfaz
onde
é a permeabilidade do vácuo (
) e
é a corrente de condução atravessando a superfície limitada pela curva. No espaço entre as placas a corrente de condução não atravessa, então apenas o termo
contribui.
Passo 3
Derivar relação entre a corrente que carrega o capacitor e a taxa de variação do campo elétrico:
- Área da placa (circulares):
- Como
(campo aproximadamente uniforme), tem-se
- Durante o carregamento, a corrente de condução que chega à placa é igual à corrente de deslocamento através da região entre placas (continuidade de corrente). Ou seja, a corrente fornecida
deve igualar :
- Dessa relação isolamos a taxa de variação do campo elétrico:
Passo 4
Calcular numericamente
mostrando passo a passo as contas:
- Produto
:
- Portanto
(Interpretação: o campo elétrico entre as placas cresce muito rapidamente enquanto a corrente de carga é grande.)
Passo 5
Calcular a corrente de deslocamento
explicitamente e mostrar que ela coincide com a corrente dada:
- Usando
e o valor de encontrado, obtemos numericamente
- Conclusão prática e física: a corrente de deslocamento entre as placas é igual à corrente de carga que alimenta o capacitor,
. Isso é exatamente o papel do termo de deslocamento de Maxwell.
Passo 6
Determinar o campo magnético a uma distância
do eixo (com
):
- Por simetria, o campo magnético entre as placas é tangencial (circula ao redor do eixo) e depende apenas de
. Aplicando a forma integral da lei de Ampère-Maxwell numa volta circular de raio concentricamente com as placas, e lembrando que não há corrente de condução atravessando a superfície (apenas deslocamento), tem-se
onde
é o fluxo elétrico através da área de raio
, isto é
.
- Logo
- Isolando
:
- Alternativamente, usando que a corrente efetivamente “encerrada” pela volta de raio
é a fração da corrente total proporcional à área: . Assim
que é algebraicamente equivalente à expressão acima (útil para cálculo numérico rápido).
Passo 7
Calcular numericamente
usando a forma simplificada
:
-
Primeiro notar que
. -
Então
- Calcule passo a passo:
- Direção: o campo é tangencial (circumferencial) ao redor do eixo do capacitor; o sentido é dado pela regra da mão direita associada à direção da corrente de carga (ou seja, enrolando os dedos no sentido do campo, o polegar aponta na direção da corrente de condução).
Resposta
(a)
(b)
(c) (direção tangencial ao redor do eixo, sentido dado pela regra da mão direita)
(b)
(c)