Um capacitor de placas paralelas circulares de raio R=5,0 \mathrm{~cm} e separação d=2,0 \mathrm{~mm} está sendo carregado por uma corrente constante i=3,0 \mathrm{~A}. Determine:
(a) A taxa de variação do campo elétrico entre as placas
(b) A corrente de deslocamento
(c) O campo magnético a uma distância r=3,0 \mathrm{~cm} do eixo central

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os números do enunciado):
  • Raio das placas: R=5{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Separação das placas: d=2{,}0\\ \mathrm{mm}=0{,}002\\ \mathrm{m} (valor informado; não será necessário para todas as partes).
  • Corrente de carga (constante): i=3{,}0\\ \mathrm{A}.
  • Quer-se:
    (a) a taxa de variação do campo elétrico entre as placas, isto é \dfrac{dE}{dt};
    (b) a corrente de deslocamento (displacement current) i_{\mathrm{d}};
    (c) o campo magnético a uma distância r=3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m} do eixo central (ou seja r<R).

Passo 2

Conceitos fundamentais que vou usar (explicação didática e intuitiva):
  • Campo elétrico entre placas paralelas carregadas: para placas circulares suficientemente próximas, o campo entre elas pode ser considerado aproximadamente uniforme e perpendicular às placas. O fluxo elétrico através de uma área A é
\Phi_E=\int \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}\approx E\cdot A,
quando E é aproximadamente uniforme e aponta perpendicularmente à área.
  • Corrente de deslocamento (Maxwell): Maxwell completou a forma de Ampère dizendo que uma variação temporal do fluxo elétrico produz um termo análogo à corrente elétrica real. A corrente de deslocamento é definida por
i_{\mathrm{d}}=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F\,m^{-1}}). Esse termo garante conservação de corrente e é responsável pelo campo magnético entre as placas quando o capacitor está sendo carregado.
  • Lei de Ampère-Maxwell (em forma integral): para um contorno circular concêntrico com o eixo do capacitor, o campo magnético tangencial B satisfaz
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell}=\mu_0\left(I_{\mathrm{enc}}+\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\right),
onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H\,m^{-1}}) e I_{\mathrm{enc}} é a corrente de condução atravessando a superfície limitada pela curva. No espaço entre as placas a corrente de condução não atravessa, então apenas o termo \varepsilon_0 d\Phi_E/dt contribui.

Passo 3

Derivar relação entre a corrente que carrega o capacitor e a taxa de variação do campo elétrico:
  • Área da placa (circulares):
A=\pi R^2=\pi(0{,}05)^2=\pi\cdot0{,}0025\approx0{,}00785398\\ \mathrm{m^2}.
  • Como \Phi_E=E\cdot A (campo aproximadamente uniforme), tem-se
i_{\mathrm{d}}=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}=\varepsilon_0 A\frac{dE}{dt}.
  • Durante o carregamento, a corrente de condução que chega à placa é igual à corrente de deslocamento através da região entre placas (continuidade de corrente). Ou seja, a corrente fornecida i deve igualar i_{\mathrm{d}}:
i=\varepsilon_0 A\frac{dE}{dt}.
  • Dessa relação isolamos a taxa de variação do campo elétrico:
\frac{dE}{dt}=\frac{i}{\varepsilon_0 A}.

Passo 4

Calcular numericamente \dfrac{dE}{dt} mostrando passo a passo as contas:
  • Produto \varepsilon_0 A:
\varepsilon_0 A \approx (8{,}854\times10^{-12})\cdot(0{,}00785398)\approx 6{,}95\times10^{-14}.
  • Portanto
\frac{dE}{dt}=\frac{3{,}0}{6{,}95\times10^{-14}}\approx 4{,}31\times10^{13}\\ \mathrm{V\,m^{-1}\,s^{-1}}.
(Interpretação: o campo elétrico entre as placas cresce muito rapidamente enquanto a corrente de carga é grande.)

Passo 5

Calcular a corrente de deslocamento i_{\mathrm{d}} explicitamente e mostrar que ela coincide com a corrente dada:
  • Usando i_{\mathrm{d}}=\varepsilon_0 A\,\dfrac{dE}{dt} e o valor de \dfrac{dE}{dt} encontrado, obtemos numericamente
i_{\mathrm{d}}=\varepsilon_0 A\cdot 4{,}31\times10^{13}\approx 3{,}0\\ \mathrm{A}.
  • Conclusão prática e física: a corrente de deslocamento entre as placas é igual à corrente de carga que alimenta o capacitor, i_{\mathrm{d}}=i. Isso é exatamente o papel do termo de deslocamento de Maxwell.

Passo 6

Determinar o campo magnético a uma distância r=0{,}03\\ \mathrm{m} do eixo (com r<R):
  • Por simetria, o campo magnético entre as placas é tangencial (circula ao redor do eixo) e depende apenas de r. Aplicando a forma integral da lei de Ampère-Maxwell numa volta circular de raio r concentricamente com as placas, e lembrando que não há corrente de condução atravessando a superfície (apenas deslocamento), tem-se
B(2\pi r)=\mu_0\varepsilon_0\frac{d\Phi_{E,\mathrm{enc}}}{dt},
onde \Phi_{E,\mathrm{enc}} é o fluxo elétrico através da área de raio r, isto é \Phi_{E,\mathrm{enc}}=E\cdot(\pi r^2).
  • Logo
B(2\pi r)=\mu_0\varepsilon_0\; \frac{d}{dt}\bigl(E\pi r^2\bigr)=\mu_0\varepsilon_0\;\pi r^2\frac{dE}{dt}.
  • Isolando B:
B=\frac{\mu_0\varepsilon_0}{2\pi r}\,\pi r^2\frac{dE}{dt}=\frac{\mu_0\varepsilon_0}{2}\;r\;\frac{dE}{dt}.
  • Alternativamente, usando que a corrente efetivamente “encerrada” pela volta de raio r é a fração da corrente total proporcional à área: i_{\mathrm{enc}}=i\cdot\frac{\pi r^2}{\pi R^2}=i\frac{r^2}{R^2}. Assim
B=\frac{\mu_0 i_{\mathrm{enc}}}{2\pi r}=\frac{\mu_0 i}{2\pi r}\cdot\frac{r^2}{R^2}=\frac{\mu_0 i}{2\pi}\frac{r}{R^2},
que é algebraicamente equivalente à expressão acima (útil para cálculo numérico rápido).

Passo 7

Calcular numericamente B usando a forma simplificada \displaystyle B=\frac{\mu_0 i}{2\pi}\frac{r}{R^2}:
  • Primeiro notar que \dfrac{\mu_0}{2\pi}=\dfrac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}=2\times10^{-7}\\ \mathrm{H\,m^{-1}}.
  • Então
B=2\times10^{-7}\cdot i\cdot\frac{r}{R^2}=2\times10^{-7}\cdot 3{,}0\cdot\frac{0{,}03}{(0{,}05)^2}.
  • Calcule passo a passo:
(0{,}05)^2=0{,}0025,
2\times10^{-7}\cdot 3{,}0\cdot0{,}03=1{,}8\times10^{-8},
B=\frac{1{,}8\times10^{-8}}{0{,}0025}=7{,}2\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.
  • Direção: o campo é tangencial (circumferencial) ao redor do eixo do capacitor; o sentido é dado pela regra da mão direita associada à direção da corrente de carga (ou seja, enrolando os dedos no sentido do campo, o polegar aponta na direção da corrente de condução).

Resposta

(a) \dfrac{dE}{dt}=4{,}31\times10^{13}\\ \mathrm{V\,m^{-1}\,s^{-1}}
(b) i_{\mathrm{d}}=3{,}0\\ \mathrm{A}
(c) B(r=3{,}0\\ \mathrm{cm})=7{,}2\times10^{-6}\\ \mathrm{T} (direção tangencial ao redor do eixo, sentido dado pela regra da mão direita)

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