Um disco circular de raio
possui densidade superficial de carga uniforme
e gira com frequência
em torno de seu eixo central. Calcule:
(a) A corrente total equivalente
(b) O campo magnético no centro do disco
(c) O momento de dipolo magnético do disco
(a) A corrente total equivalente
(b) O campo magnético no centro do disco
(c) O momento de dipolo magnético do disco
Passo 1
O enunciado dá claramente os seguintes dados e pede três coisas. Dados fornecidos:
- raio do disco:
, - densidade superficial de carga (uniforme):
, - frequência de rotação:
.
O enunciado pede:
(a) a corrente total equivalente associada ao disco em rotação;
(b) o campo magnético no centro do disco;
(c) o momento de dipolo magnético do disco.
(a) a corrente total equivalente associada ao disco em rotação;
(b) o campo magnético no centro do disco;
(c) o momento de dipolo magnético do disco.
Passo 2
Primeiro vamos achar a carga total
do disco (porque isso ajuda a obter a corrente). A área do disco é
. Então
Substituindo os números:
Opcionalmente, em valor decimal,
Passo 3
(a) Cálculo da corrente total equivalente. Motivação física curta (sem pular passos): todo elemento de carga do disco completa
voltas por segundo, então cada carga total
passa por um ponto uma vez a cada volta — isso é equivalente a uma corrente total
Substituindo
do passo anterior:
Agora os números:
Em valor decimal,
Explicação prática curta para a prova: uma forma rápida de lembrar é
(cargo total vezes frequência), faça
e multiplique por
.
Passo 4
(b) Cálculo do campo magnético no centro do disco. Estratégia passo a passo e física por trás:
- Divida o disco em anéis concêntricos de raio
e espessura . - Carga do anel:
. - Essa carga gira com frequência
, então o anel produz uma corrente
- O campo no centro devido a um anel de raio
com corrente é (fórmula conhecida para um loop circular)
onde
é a permeabilidade do vácuo (
).
- Substituindo
:
Observe algo muito útil: o
cancela, então a contribuição por unidade de
é constante. Agora integramos
de
até
:
Expressão alternativa em termos da corrente total
: usando
obtemos
Agora o valor numérico. Usando
:
Calcule passo a passo (valores aproximados):
Comentário intuitivo para prova: o campo é muito pequeno (pico de ordem
) porque a densidade de carga e as correntes envolvidas são muito pequenas.
Passo 5
(c) Cálculo do momento de dipolo magnético do disco. Conceito e derivação:
- Para uma espira com corrente
e área , o momento magnético é . - Para o disco, somamos (integramos) os momentos das espiras elementares. Um anel de raio
com corrente tem momento magnético
- Usando
:
- Integrando de
a :
Outra forma equivalente (usando
) é
ou ainda em termos de
e da área
:
Agora o valor numérico. Usando a expressão
e
:
Calculando,
Breve comentário para a prova: é útil memorizar que para um disco uniformemente carregado em rotação o momento magnético fica com um fator
a menos do que se toda a corrente estivesse concentrada na borda (isto é,
).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)