Um disco circular de raio a=10 \mathrm{~cm} possui densidade superficial de carga uniforme \sigma=25 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} e gira com frequência f=300 \mathrm{~Hz} em torno de seu eixo central. Calcule:
(a) A corrente total equivalente
(b) O campo magnético no centro do disco
(c) O momento de dipolo magnético do disco

Passo 1

O enunciado dá claramente os seguintes dados e pede três coisas. Dados fornecidos:
  • raio do disco: a=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m},
  • densidade superficial de carga (uniforme): \sigma=25\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^{2}=25\times10^{-9}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2},
  • frequência de rotação: f=300\\ \mathrm{Hz}.
O enunciado pede:
(a) a corrente total equivalente associada ao disco em rotação;
(b) o campo magnético no centro do disco;
(c) o momento de dipolo magnético do disco.

Passo 2

Primeiro vamos achar a carga total Q do disco (porque isso ajuda a obter a corrente). A área do disco é \pi a^{2}. Então
Q=\sigma\cdot\pi a^{2}.
Substituindo os números:
Q=\left(25\times10^{-9}\right)\cdot\pi\cdot(0{,}10)^{2} =\left(25\times10^{-9}\right)\cdot\pi\cdot0{,}01 =2{,}5\times10^{-10}\pi\\ \mathrm{C}.
Opcionalmente, em valor decimal,
Q\approx7{,}8539816\times10^{-10}\\ \mathrm{C}.

Passo 3

(a) Cálculo da corrente total equivalente. Motivação física curta (sem pular passos): todo elemento de carga do disco completa f voltas por segundo, então cada carga total Q passa por um ponto uma vez a cada volta — isso é equivalente a uma corrente total
I=Q\cdot f.
Substituindo Q do passo anterior:
I=\sigma\pi a^{2}f.
Agora os números:
I=\left(25\times10^{-9}\right)\cdot\pi\cdot(0{,}10)^{2}\cdot300 =2{,}5\times10^{-10}\pi\cdot300 =7{,}5\times10^{-8}\pi\\ \mathrm{A}.
Em valor decimal,
I\approx2{,}3561945\times10^{-7}\\ \mathrm{A}.
Explicação prática curta para a prova: uma forma rápida de lembrar é I=Q\cdot f (cargo total vezes frequência), faça Q=\sigma\pi a^{2} e multiplique por f.

Passo 4

(b) Cálculo do campo magnético no centro do disco. Estratégia passo a passo e física por trás:
  • Divida o disco em anéis concêntricos de raio r e espessura dr.
  • Carga do anel: dq=\sigma\cdot 2\pi r\,dr.
  • Essa carga gira com frequência f, então o anel produz uma corrente
dI=f\,dq=f\cdot\sigma\cdot 2\pi r\,dr.
  • O campo no centro devido a um anel de raio r com corrente dI é (fórmula conhecida para um loop circular)
dB=\frac{\mu_{0}\,dI}{2r},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo ( \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}).
  • Substituindo dI:
dB=\frac{\mu_{0}}{2r}\cdot f\cdot\sigma\cdot 2\pi r\,dr =\mu_{0}\,f\,\sigma\,\pi\,dr.
Observe algo muito útil: o r cancela, então a contribuição por unidade de r é constante. Agora integramos r de 0 até a:
B=\int_{0}^{a} dB=\int_{0}^{a}\mu_{0}\,f\,\sigma\,\pi\,dr =\mu_{0}\,\pi\,\sigma\,f\int_{0}^{a}dr =\mu_{0}\,\pi\,\sigma\,f\,a.
Expressão alternativa em termos da corrente total I: usando I=\sigma\pi a^{2}f obtemos
B=\frac{\mu_{0}\,I}{a}.
Agora o valor numérico. Usando \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}:
B=\mu_{0}\,\pi\,\sigma\,f\,a =(4\pi\times10^{-7})\cdot\pi\cdot(25\times10^{-9})\cdot300\cdot0{,}10.
Calcule passo a passo (valores aproximados):
B\approx3{,}94784176\times10^{-6}\cdot7{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{T} \approx2{,}9608813\times10^{-12}\\ \mathrm{T}.
Comentário intuitivo para prova: o campo é muito pequeno (pico de ordem 10^{-12}\\ \mathrm{T}) porque a densidade de carga e as correntes envolvidas são muito pequenas.

Passo 5

(c) Cálculo do momento de dipolo magnético do disco. Conceito e derivação:
  • Para uma espira com corrente I e área A, o momento magnético é \mu=I\cdot A.
  • Para o disco, somamos (integramos) os momentos das espiras elementares. Um anel de raio r com corrente dI tem momento magnético
d\mu=dI\cdot(\text{área encerrada pelo anel})=dI\cdot\pi r^{2}.á
  • Usando dI=f\cdot\sigma\cdot 2\pi r\,dr:
d\mu=\left(f\cdot\sigma\cdot 2\pi r\,dr\right)\cdot\pi r^{2} =2\pi^{2}\sigma f\,r^{3}\,dr.
  • Integrando de 0 a a:
\mu=\int_{0}^{a}d\mu=2\pi^{2}\sigma f\int_{0}^{a}r^{3}dr =2\pi^{2}\sigma f\cdot\frac{a^{4}}{4} =\frac{\pi^{2}\sigma f a^{4}}{2}.
Outra forma equivalente (usando \omega=2\pi f) é
\mu=\frac{\pi\,\sigma\,\omega\,a^{4}}{4},
ou ainda em termos de I e da área A=\pi a^{2}:
\mu=\frac{1}{2}I\cdot A =\frac{1}{2}I\cdot\pi a^{2}.
Agora o valor numérico. Usando a expressão \mu=\dfrac{\pi^{2}\sigma f a^{4}}{2} e a^{4}=(0{,}10)^{4}=10^{-4}:
\mu=\frac{\pi^{2}}{2}\cdot(25\times10^{-9})\cdot300\cdot10^{-4}.
Calculando,
\mu\approx4{,}9348022\cdot7{,}5\times10^{-10}\\ \mathrm{A\cdot m^{2}} \approx3{,}7011016\times10^{-9}\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}.
Breve comentário para a prova: é útil memorizar que para um disco uniformemente carregado em rotação o momento magnético fica com um fator 1/2 a menos do que se toda a corrente estivesse concentrada na borda (isto é, \mu=\tfrac{1}{2}I\cdot A).

Resposta

(a) I\approx2{,}3561945\times10^{-7}\\ \mathrm{A}.
(b) B\approx2{,}9608813\times10^{-12}\\ \mathrm{T}.
(c) \mu\approx3{,}7011016\times10^{-9}\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}.

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