Um fio retilíneo infinito possui uma densidade linear de carga igual a 3,0 times 10^-7 C / m. Um próton (massa 1,67 times 10^-27 kg, carga +1,60 times 10^-19 C ) está a uma distância de 50 cm do fio e se desloca radialmente no sentido do fio, com velocidade igual a 130 km / s. Até que distância mínima do fio o próton pode se aproximar? (25)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um fio infinito carregado com uma densidade linear de carga de 3,0 times 10^-7 , C/m. Um próton, com massa 1,67 times 10^-27 , kg e carga +1,60 times 10^-19 , C, está a 50 cm do fio e se move em direção a ele com uma velocidade de 130 km/s. A pergunta é: até que distância mínima o próton pode se aproximar do fio?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade, como campo elétrico de um fio carregado, energia potencial elétrica e conservação de energia. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o campo elétrico gerado pelo fio carregado. Para um fio retilíneo infinito com densidade linear de carga lambda, o campo elétrico a uma distância r do fio é dado pela fórmula:
E(r) = lambda2pi varepsilon0 r
Onde:
  • lambda = 3,0 times 10^-7 , C/m
  • varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 , C^2/(N cdot m^2) é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, vamos pensar na energia potencial elétrica U de um próton a uma distância r do fio. A energia potencial para essa situação é dada por:
U(r) = q cdot V(r)
Onde V(r) é o potencial elétrico e q é a carga do próton. O potencial elétrico de um fio infinito é:
V(r) = lambda2pi varepsilon0 ln(rr0)
Aqui, r0 é uma distância de referência. No entanto, como vamos trabalhar com diferenças de potencial, r0 irá se cancelar e não precisamos especificar seu valor.

Passo 4

Vamos aplicar a conservação de energia. A energia total do próton no início (energia cinética + energia potencial) deve ser igual à energia total no ponto mais próximo (onde a energia cinética é zero):
12 m v0^2 + U(r0) = U(rmin)
Onde:
  • m = 1,67 times 10^-27 , kg é a massa do próton
  • v0 = 130 times 10^3 , m/s é a velocidade inicial
  • r0 = 0,5 , m é a distância inicial
  • rmin é a distância mínima que queremos encontrar

Passo 5

Substituindo as expressões de energia potencial na equação de conservação de energia:
12 m v0^2 + lambda q2pi varepsilon0 ln(r0r0) = lambda q2pi varepsilon0 ln(rminr0)
Note que ln(r0r0) = ln(1) = 0, então a equação simplifica para:
12 m v0^2 = lambda q2pi varepsilon0 ln(rminr0)

Passo 6

Vamos isolar ln(rminr0):
ln(rminr0) = 12 m v0^2 cdot 2pi varepsilon0lambda q
Simplificando:
ln(rminr0) = m v0^2 pi varepsilon0lambda q

Passo 7

Agora, vamos resolver para rmin:
rminr0 = exp( m v0^2 pi varepsilon0lambda q )
Portanto:
rmin = r0 cdot exp( m v0^2 pi varepsilon0lambda q )

Passo 8

Vamos agora substituir os valores numéricos na expressão:
rmin = 0,5 , m cdot exp( (1,67 times 10^-27 , kg) cdot (130 times 10^3 , m/s)^2 cdot pi cdot 8,85 times 10^-12 , C^2/(N cdot m^2) (3,0 times 10^-7 , C/m) cdot (1,60 times 10^-19 , C) )

Passo 9

Calculando o valor dentro do expoente:
(1,67 times 10^-27) cdot (1,69 times 10^10) cdot 3,14 cdot 8,85 times 10^-12 (3,0 times 10^-7) cdot (1,60 times 10^-19) approx (1,67 times 10^-27) cdot (1,69 times 10^10) cdot 3,14 cdot 8,85 times 10^-12 4,8 times 10^-26 approx 1,62 times 10^-4

Passo 10

Então, temos:
rmin = 0,5 , m cdot exp(1,62 times 10^-4) approx 0,5 , m cdot (1 + 1,62 times 10^-4) approx 0,5 , m cdot 1,000162 approx 0,500081 , m

Resposta

A distância mínima que o próton pode se aproximar do fio é aproximadamente 0,500081 , m.

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