Um fio retilíneo infinito possui uma densidade linear de carga igual a
. Um próton (massa
, carga
) está a uma distância de 50 cm do fio e se desloca radialmente no sentido do fio, com velocidade igual a
. Até que distância mínima do fio o próton pode se aproximar? (25)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um fio infinito carregado com uma densidade linear de carga de
. Um próton, com massa
e carga
, está a 50 cm do fio e se move em direção a ele com uma velocidade de 130 km/s. A pergunta é: até que distância mínima o próton pode se aproximar do fio?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade, como campo elétrico de um fio carregado, energia potencial elétrica e conservação de energia. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o campo elétrico gerado pelo fio carregado. Para um fio retilíneo infinito com densidade linear de carga
, o campo elétrico a uma distância
do fio é dado pela fórmula:
Onde:
-
-
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Agora, vamos pensar na energia potencial elétrica
de um próton a uma distância
do fio. A energia potencial para essa situação é dada por:
Onde
é o potencial elétrico e
é a carga do próton. O potencial elétrico de um fio infinito é:
Aqui,
é uma distância de referência. No entanto, como vamos trabalhar com diferenças de potencial,
irá se cancelar e não precisamos especificar seu valor.
Passo 4
Vamos aplicar a conservação de energia. A energia total do próton no início (energia cinética + energia potencial) deve ser igual à energia total no ponto mais próximo (onde a energia cinética é zero):
Onde:
-
é a massa do próton -
é a velocidade inicial -
é a distância inicial -
é a distância mínima que queremos encontrar
Passo 5
Substituindo as expressões de energia potencial na equação de conservação de energia:
Note que
, então a equação simplifica para:
Passo 6
Vamos isolar
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Portanto:
Passo 8
Vamos agora substituir os valores numéricos na expressão:
Passo 9
Calculando o valor dentro do expoente:
Passo 10
Então, temos:
Resposta
A distância mínima que o próton pode se aproximar do fio é aproximadamente
.