• Um fio retilíneo longo transporta uma corrente I. Um elétron se move a uma distância d do fio e paralelamente a ele com velocidade v, cujo sentido é contrário ao da corrente I no fio. Qual a direção e sentido da força resultante que atua sobre o elétron? Para um observador situado no referencial do elétron, qual a direção e sentido da força sobre ele? Explique. (Dica: Feynman’s Lectures, cap. 13-11)

Passo 1

O enunciado dá um fio retilíneo infinito, percorrido por corrente I no sentido positivo de z, e um elétron que se move paralelo ao fio a uma distância d, com velocidade v no sentido negativo de z (isto é, oposto à corrente). Vamos usar:
  1. Lei de Biot–Savart para achar o campo magnético B gerado pelo fio.
  2. Força de Lorentz F=q,vtimesB para determinar a direção e o sentido da força no referencial do laboratório.
  3. Transformação de densidades de carga por contração relativística para achar o campo elétrico E no referencial do elétron e ver a força elétrica resultante.

Passo 2

No referencial do laboratório, o campo magnético de um fio longo e retilíneo vale, em módulo,
B = mu0,I2pi,d
e sua direção é circular ao redor do fio, segundo a regra da mão direita. Escolhendo eixos cartesianas com o fio ao longo de z e o elétron situado em x=+d, temos
B apontando na direção +y.

Passo 3

A força magnética sobre o elétron de carga q=-e é
Frm mag ;=; q,vtimesB
Aqui v=-v,z e B=B,y, logo
vtimesB = (-v,z)times(B,y) = -vB,(ztimesy) = -vB,(-x) = +vB,x
Multiplicando pela carga negativa q=-e inverte-se o sentido, ficando
Frm mag = -e,(vB,x) = -e,vB,x ;propto; -x
Portanto, no laboratório, a força resultante é radial, apontando de x=+d para x=0: o elétron é atraído em direção ao fio.

Passo 4

No referencial do elétron ele está parado e o fio (composto de íons positivos fixos e elétrons de condução) move-se para baixo com velocidade +v,z. Pela relatividade, a densidade linear dos íons, que se movem, sofre contração maior que a dos elétrons de condução, gerando carga líquida positiva no fio. Isso cria um campo elétrico radial apontando de x=0 para x=+d. A força elétrica sobre o elétron parado é
Frm el = q,E,
com q=-e e E radial interna (isto é, em -x), resultando de novo numa atração para o fio.

Resposta

No referencial do laboratório a força sobre o elétron é magnética, radial, apontando de x=+d para x=0 (atração ao fio).
No referencial do elétron a força é elétrica, também radial e com sentido de atração ao fio.

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