Um fio situado sobre o eixo
, entre os pontos
e
, conduz uma corrente de
no sentido positivo do eixo. Na região existe um campo magnético nãouniforme dado por
. Em termos dos vetores unitários, qual é a força magnética que o campo exerce sobre o fio?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um fio que está no eixo $ x $, entre os pontos $ x = 2 , m $ e $ x = 3 , m $, e por esse fio passa uma corrente de $ 2,5 , A $ na direção positiva do eixo $ x $. Além disso, existe um campo magnético que não é uniforme, ou seja, ele muda de intensidade conforme a posição $ x $. Nosso objetivo é descobrir qual é a força magnética que esse campo exerce sobre o fio. Para resolver isso, vamos usar o conceito de força magnética em um condutor com corrente, que é dado pela fórmula $ \vec{F} = I , d\vec{L} \times \vec{B} $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ d\vec{L} $. Esse termo representa um elemento infinitesimal do fio, ou seja, uma pequena parte do fio sobre a qual vamos calcular a força magnética. Como o fio está ao longo do eixo $ x $ e a corrente vai na direção positiva desse eixo, podemos escrever $ d\vec{L} = dx , \hat{\imath} $, onde $ \hat{\imath} $ é o vetor unitário na direção $ x $.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o campo magnético $ \vec{B} $. A expressão dada é:
Isso significa que o campo magnético tem componentes nas direções $ x $ e $ y $, e sua intensidade depende de $ x^{2} $.
Passo 4
A próxima etapa é calcular a força magnética diferencial $ d\vec{F} $ usando a fórmula:
Substituindo $ d\vec{L} = dx , \hat{\imath} $ e $ \vec{B} $ na expressão, temos:
Vamos calcular o produto vetorial $ \hat{\imath} \times \hat{\imath} = 0 $ e $ \hat{\imath} \times \hat{j} = \hat{k} $, então:
Passo 5
Para encontrar a força magnética total $ \vec{F} $, precisamos integrar $ d\vec{F} $ de $ x = 2 , m $ até $ x = 3 , m $:
Calculando a integral:
Resposta
A força magnética que o campo exerce sobre o fio é $ \vec{F} = -\dfrac{38}{3} , \hat{k} , N $.