Um fio situado sobre o eixo x, entre os pontos x=2 m e x=3 m, conduz uma corrente de 2,5 A no sentido positivo do eixo. Na região existe um campo magnético nãouniforme dado por B=(4,0[Tm^2]) cdot x^2 imath-(0,8[Tm^2] x^2 j. Em termos dos vetores unitários, qual é a força magnética que o campo exerce sobre o fio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um fio que está no eixo $ x $, entre os pontos $ x = 2 , m $ e $ x = 3 , m $, e por esse fio passa uma corrente de $ 2,5 , A $ na direção positiva do eixo $ x $. Além disso, existe um campo magnético que não é uniforme, ou seja, ele muda de intensidade conforme a posição $ x $. Nosso objetivo é descobrir qual é a força magnética que esse campo exerce sobre o fio. Para resolver isso, vamos usar o conceito de força magnética em um condutor com corrente, que é dado pela fórmula $ \vec{F} = I , d\vec{L} \times \vec{B} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ d\vec{L} $. Esse termo representa um elemento infinitesimal do fio, ou seja, uma pequena parte do fio sobre a qual vamos calcular a força magnética. Como o fio está ao longo do eixo $ x $ e a corrente vai na direção positiva desse eixo, podemos escrever $ d\vec{L} = dx , \hat{\imath} $, onde $ \hat{\imath} $ é o vetor unitário na direção $ x $.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o campo magnético $ \vec{B} $. A expressão dada é:
B
Isso significa que o campo magnético tem componentes nas direções $ x $ e $ y $, e sua intensidade depende de $ x^{2} $.

Passo 4

A próxima etapa é calcular a força magnética diferencial $ d\vec{F} $ usando a fórmula:
dF
Substituindo $ d\vec{L} = dx , \hat{\imath} $ e $ \vec{B} $ na expressão, temos:
dF = I , dL times B
Vamos calcular o produto vetorial $ \hat{\imath} \times \hat{\imath} = 0 $ e $ \hat{\imath} \times \hat{j} = \hat{k} $, então:
dL = dx , imath

Passo 5

Para encontrar a força magnética total $ \vec{F} $, precisamos integrar $ d\vec{F} $ de $ x = 2 , m $ até $ x = 3 , m $:
F
Calculando a integral:
dF

Resposta

A força magnética que o campo exerce sobre o fio é $ \vec{F} = -\dfrac{38}{3} , \hat{k} , N $.

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