Uma partícula de massa m=6,64 times 10^-27 kg e carregada com carga elétrica q= +3,2 times 10^-19 C descreve uma trajetória circular de 4,5 cm de raio em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo, B=1,2 T. Determine (a) a velocidade escalar da partícula; (b) o período de revolução; © a energia cinética; (d) a diferença de potencial necessária para que a partícula atinja a energia do item ©.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem uma partícula com uma massa de $ m = 6,64 \times 10^{-27} $ kg e carga elétrica de $ q = +3,2 \times 10^{-19} $ C que está se movendo em uma trajetória circular de raio $ r = 4,5 $ cm dentro de um campo magnético uniforme de intensidade $ B = 1,2 $ T. Vamos precisar usar conceitos de força magnética, movimento circular e energia cinética para encontrar:
a) A velocidade escalar da partícula;
b) O período de revolução;
c) A energia cinética;
d) A diferença de potencial necessária para que a partícula tenha a energia do item ©.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade escalar da partícula.
Quando uma partícula carregada se move em um campo magnético, ela sofre uma força magnética que age como uma força centrípeta, mantendo-a em uma trajetória circular. A força magnética ($ F_m $) é dada por:
Fm
E a força centrípeta ($ F_c $) necessária para manter o movimento circular é:
Fm = q cdot v cdot B
Como a força magnética está fornecendo a força centrípeta, podemos igualar as duas expressões:
Fc
Vamos resolver para a velocidade $ v $:
Primeiro, cancelamos um $ v $ dos dois lados:
Fc = m cdot v^2r
Agora, isolamos $ v $:
q cdot v cdot B = m cdot v^2r
Substituindo os valores:
  • $ q = 3,2 \times 10^{-19} $ C
  • $ B = 1,2 $ T
  • $ r = 4,5 $ cm = 0,045 m
  • $ m = 6,64 \times 10^{-27} $ kg
v
Calculando:
v
q cdot B = m cdot vr
v

Passo 3

Agora, vamos encontrar o período de revolução da partícula, ou seja, quanto tempo ela leva para dar uma volta completa na trajetória circular.
O período $ T $ está relacionado com a velocidade e o raio pela fórmula:
T
Usando os valores que já temos:
  • $ r = 0,045 $ m
  • $ v \approx 2,604 \times 10^{7} $ m/s
T = 2 pi rv
Calculando:
r = 0,045
v approx 2,604 times 10^7

Passo 4

Vamos calcular a energia cinética da partícula. A energia cinética ($ E_c $) de um objeto em movimento é dada por:
Ec
Usando os valores:
  • $ m = 6,64 \times 10^{-27} $ kg
  • $ v \approx 2,604 \times 10^{7} $ m/s
Ec = 12 m v^2
Calculando:
m = 6,64 times 10^-27
v approx 2,604 times 10^7
Ec = 12 cdot 6,64 times 10^-27 cdot (2,604 times 10^7)^2
Ec = 0,5 cdot 6,64 times 10^-27 cdot 6,426 times 10^14
Ec = 0,5 cdot 6,64 times 6,426 times 10^-27 + 14

Passo 5

Por último, vamos determinar a diferença de potencial ($ \Delta V $) necessária para que a partícula atinja a energia cinética encontrada no item ©. A relação entre energia cinética e diferença de potencial para uma carga é:
De
Isolando $ \Delta V $:
Ec = q cdot De
Usando os valores:
  • $ E_c \approx 2,13 \times 10^{-12} $ J
  • $ q = 3,2 \times 10^{-19} $ C
De
De
Ec approx 2,13 times 10^-12

Resposta

a) A velocidade escalar da partícula é aproximadamente $ 2,604 \times 10^{7} $ m/s;
b) O período de revolução é cerca de $ 1,086 \times 10^{-8} $ segundos;
c) A energia cinética da partícula é aproximadamente $ 2,13 \times 10^{-12} $ J;
d) A diferença de potencial necessária é aproximadamente $ 6,66 \times 10^{6} $ V.

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