Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
O que vamos precisar:
- Conhecimento básico sobre Transformadas de Laplace.
- Propriedades da Transformada de Laplace, especialmente para derivadas e funções delta de Dirac.
- Técnicas de álgebra para rearranjar e resolver a equação transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de
é
, onde
é a Transformada de Laplace de
.
Aplicando a Transformada de Laplace:
Substituindo as transformadas conhecidas:
Passo 3
Sabemos que
, então simplificando a equação:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Passo 5
Para encontrar
, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Sabemos que:
E, quando temos um termo
, isso corresponde a um atraso no tempo na função inversa:
No nosso caso,
e
.
Então:
Passo 6
Simplificando a expressão, obtemos:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Isso significa que
é igual a zero para
e igual a
para
.