Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
a) ly^prime-3 y=de
b) ly^prime prime+y=de
c) ly^prime prime+y=de
d) ly^prime prime-2 y^prime=1+de
e) ly^prime prime+4 y^prime+13 y=de
f) ly^prime prime+2 y^prime+y=de
g) ly^prime prime-7 y^prime+6 y=e^t+de

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
y^prime - 3y = de
O que vamos precisar:
  • Conhecimento básico sobre Transformadas de Laplace.
  • Propriedades da Transformada de Laplace, especialmente para derivadas e funções delta de Dirac.
  • Técnicas de álgebra para rearranjar e resolver a equação transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de Ly' - 3Ly = Lde é sY(s) - y(0) - 3Y(s) = e^-2s , onde é a Transformada de Laplace de .
Aplicando a Transformada de Laplace:
Substituindo as transformadas conhecidas:

Passo 3

Sabemos que sY(s) - 0 - 3Y(s) = e^-2s , então simplificando a equação:
(s - 3)Y(s) = e^-2s

Passo 4

Agora, vamos isolar Y(s) = e^-2ss - 3 :

Passo 5

Para encontrar L^-11s - a = e^atu(t) , precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Sabemos que:
L^-1e^-asF(s) = f(t - a)u(t - a)
E, quando temos um termo y(t) = e^3(t - 2)u(t - 2) , isso corresponde a um atraso no tempo na função inversa:
No nosso caso, e .
Então:

Passo 6

Simplificando a expressão, obtemos:
y(t) = 0, & t < 2 e^3(t - 2), & t >= 2

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^3(t - 2)u(t - 2)
Isso significa que é igual a zero para e igual a para .

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