Considere o campo vetorial
F(x, y) = ln(y^2 + 1) i + (2y(x - 1))/(y^2 + 1) j
Determine se F é ou não conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por
E a missão é descobrir se esse campo é conservativo ou não. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e quais os critérios para identificar isso.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Basicamente, um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que:
Isso significa que as componentes do campo podem ser derivadas parciais dessa função potencial. Um jeito comum de verificar se um campo é conservativo é usando a condição de igualdade das derivadas cruzadas. Ou seja, se temos:
Então, o campo é conservativo. Vamos aplicar isso no nosso caso.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Agora, a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos comparar as duas derivadas:
Vemos que elas são iguais:

Resposta

Como as derivadas parciais são iguais, o campo vetorial é conservativo.

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