Um fio transmite uma corrente elétrica de densidade
, sendo
uma constante. Determine a corrente elétrica (a) entre 0 e
; (b) entre
e
, onde
é o raio do fio.
Passo 1
Então, temos um fio conduzindo uma corrente elétrica com densidade
, onde
é uma constante e
é a distância do centro do fio. Queremos descobrir qual é a corrente elétrica que passa nas seguintes regiões:
- (a) Entre
e - (b) Entre
e
Vamos precisar entender conceitos de densidade de corrente e como calcular a corrente total através de uma área circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica total (
) que passa por uma determinada área é obtida integrando a densidade de corrente (
) sobre essa área. Em coordenadas cilíndricas, a área diferencial (
) é dada por
, onde
é o raio.
Então, a corrente é calculada por:
Passo 3
Substituindo a expressão da densidade de corrente
na integral, temos:
Passo 4
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Portanto:
Passo 5
Aplicando isso para cada caso:
a) Entre
e
:
b) Entre
e
:
Resposta
(a) A corrente entre
e
é
.
(b) A corrente entre
e
é
.