Um fio transmite uma corrente elétrica de densidade J=ar^3, sendo a uma constante. Determine a corrente elétrica (a) entre 0 e R2; (b) entre R2 e R, onde R é o raio do fio.

Passo 1

Então, temos um fio conduzindo uma corrente elétrica com densidade J = a r^3, onde a é uma constante e r é a distância do centro do fio. Queremos descobrir qual é a corrente elétrica que passa nas seguintes regiões:
  • (a) Entre 0 e R2
  • (b) Entre R2 e R
Vamos precisar entender conceitos de densidade de corrente e como calcular a corrente total através de uma área circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica total ( I) que passa por uma determinada área é obtida integrando a densidade de corrente ( J) sobre essa área. Em coordenadas cilíndricas, a área diferencial ( dA) é dada por dA = 2pi r , dr, onde r é o raio.
Então, a corrente é calculada por:
I = integral J , dA

Passo 3

Substituindo a expressão da densidade de corrente J = a r^3 na integral, temos:
I = integralr1^r2 a r^3 cdot 2pi r , dr
I = 2pi a integralr1^r2 r^4 , dr

Passo 4

Agora, vamos integrar r^4 em relação a r:
integral r^4 , dr = r^55
Portanto:
I = 2pi a [ r^55 ]r1^r2
I = 2pi a5 ( r2^5 - r1^5 )

Passo 5

Aplicando isso para cada caso:
a) Entre 0 e R2:
r1 = 0
r2 = R2
I = 2pi a5 ( (R2)^5 - 0^5 )
I = 2pi a5 cdot R^532
I = pi a R^580
b) Entre R2 e R:
r1 = R2
r2 = R
I = 2pi a5 ( R^5 - (R2)^5 )
I = 2pi a5 ( R^5 - R^532 )
I = 2pi a5 cdot 31R^532
I = 62pi a R^5160
I = 31pi a R^580

Resposta

(a) A corrente entre 0 e R2 é I = pi a R^580.
(b) A corrente entre R2 e R é I = 31pi a R^580.

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