Um elétron se move com velocidade igual a
em uma região onde existe um campo magnético com uma direção não especificada e com módulo igual a
. (a) Quais devem ser o maior e o menor módulo da aceleração de um elétron provocada por esse campo magnético? (b) Se a aceleração real do elétron for igual a um quarto do maior módulo encontrado no item (a), qual será o ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo: temos um elétron se movendo com uma velocidade de
m/s em uma região com um campo magnético de intensidade
T. Precisamos descobrir:
a) Qual é o maior e o menor valor da aceleração que esse campo magnético pode provocar no elétron.
b) Se a aceleração real do elétron for um quarto do maior valor encontrado no item a), qual será o ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de força magnética e como ela afeta a aceleração de uma partícula carregada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a força magnética que atua sobre uma carga em movimento. A fórmula é:
Onde:
-
é a força magnética, -
é a carga do elétron, -
é a velocidade do elétron, -
é o campo magnético, -
indica o produto vetorial.
Essa força é sempre perpendicular tanto à direção da velocidade quanto à direção do campo magnético.
Passo 3
A aceleração que o elétron sofre devido a essa força pode ser encontrada usando a segunda lei de Newton:
Substituindo a força magnética na equação:
Em termos de módulo (para facilitar nossos cálculos), temos:
Onde
é o ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético.
Passo 4
Para encontrar o maior e o menor valor da aceleração, vamos analisar o termo
:
- O maior valor de
é 1, que ocorre quando . Isso significa que a velocidade está perpendicular ao campo magnético. - O menor valor de
é 0, que ocorre quando . Isso significa que a velocidade está na mesma direção do campo magnético, e, portanto, não há componente da força magnética atuando.
Passo 5
Vamos calcular a maior aceleração (
) usando
:
Dados:
- Carga do elétron,
C (o sinal negativo indica a direção, mas como estamos interessados no módulo, consideramos o valor absoluto), - Velocidade,
m/s, - Campo magnético,
T, - Massa do elétron,
kg.
Substituindo os valores:
Calculando os valores numéricos:
Passo 6
Agora, o menor valor da aceleração (
) ocorre quando
. Nesse caso:
Isso significa que, se a velocidade do elétron estiver alinhada com o campo magnético, não haverá aceleração causada pela força magnética.
Passo 7
Para a parte b), nos é dito que a aceleração real (
) do elétron é um quarto do maior valor encontrado:
Queremos encontrar o ângulo
entre a velocidade do elétron e o campo magnético. Vamos usar a equação da aceleração:
Rearranjando para encontrar
:
Substituindo os valores:
Calculando o numerador e o denominador separadamente:
Portanto:
Agora, para encontrar
:
Resposta
a) O maior módulo da aceleração é aproximadamente
m/s² e o menor é
m/s².
b) O ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético é de aproximadamente
.