Um elétron se move com velocidade igual a 1,40 times 10^6 m / s em uma região onde existe um campo magnético com uma direção não especificada e com módulo igual a 7,40 times 10^-2 T. (a) Quais devem ser o maior e o menor módulo da aceleração de um elétron provocada por esse campo magnético? (b) Se a aceleração real do elétron for igual a um quarto do maior módulo encontrado no item (a), qual será o ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo: temos um elétron se movendo com uma velocidade de 1,40 times 10^6 m/s em uma região com um campo magnético de intensidade 7,40 times 10^-2 T. Precisamos descobrir:
a) Qual é o maior e o menor valor da aceleração que esse campo magnético pode provocar no elétron.
b) Se a aceleração real do elétron for um quarto do maior valor encontrado no item a), qual será o ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de força magnética e como ela afeta a aceleração de uma partícula carregada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a força magnética que atua sobre uma carga em movimento. A fórmula é:
F = q v times B
Onde:
  • F é a força magnética,
  • q é a carga do elétron,
  • v é a velocidade do elétron,
  • B é o campo magnético,
  • times indica o produto vetorial.
Essa força é sempre perpendicular tanto à direção da velocidade quanto à direção do campo magnético.

Passo 3

A aceleração que o elétron sofre devido a essa força pode ser encontrada usando a segunda lei de Newton:
a = Fm
Substituindo a força magnética na equação:
a = q v times Bm
Em termos de módulo (para facilitar nossos cálculos), temos:
a = q v B sinthetam
Onde theta é o ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético.

Passo 4

Para encontrar o maior e o menor valor da aceleração, vamos analisar o termo sintheta:
  • O maior valor de sintheta é 1, que ocorre quando theta = 90^circ. Isso significa que a velocidade está perpendicular ao campo magnético.
  • O menor valor de sintheta é 0, que ocorre quando theta = 0^circ. Isso significa que a velocidade está na mesma direção do campo magnético, e, portanto, não há componente da força magnética atuando.

Passo 5

Vamos calcular a maior aceleração ( amáxá) usando sintheta = 1:
amáx = q v Bm á
Dados:
  • Carga do elétron, q = -1,60 times 10^-19 C (o sinal negativo indica a direção, mas como estamos interessados no módulo, consideramos o valor absoluto),
  • Velocidade, v = 1,40 times 10^6 m/s,
  • Campo magnético, B = 7,40 times 10^-2 T,
  • Massa do elétron, m = 9,11 times 10^-31 kg.
Substituindo os valores:
amáx = (1,60 times 10^-19, C) times (1,40 times 10^6, m/s) times (7,40 times 10^-2, T)9,11 times 10^-31, kg á
amáx = 1,60 times 1,40 times 7,40 times 10^-19 + 6 -29,11 times 10^-31 á
amáx = 1,60 times 1,40 times 7,40 times 10^-159,11 times 10^-31 á
amáx = 1,60 times 1,40 times 7,409,11 times 10^16, m/s^2 á
Calculando os valores numéricos:
amáx approx 1,60 times 1,40 times 7,409,11 times 10^16 approx 16,5769,11 times 10^16 approx 1,82 times 10^16, m/s^2 á

Passo 6

Agora, o menor valor da aceleração ( amíní) ocorre quando sintheta = 0. Nesse caso:
amín = q v B times 0m = 0, m/s^2 í
Isso significa que, se a velocidade do elétron estiver alinhada com o campo magnético, não haverá aceleração causada pela força magnética.

Passo 7

Para a parte b), nos é dito que a aceleração real ( a) do elétron é um quarto do maior valor encontrado:
a = amáx4 = 1,82 times 10^16, m/s^24 = 4,55 times 10^15, m/s^2 á
Queremos encontrar o ângulo theta entre a velocidade do elétron e o campo magnético. Vamos usar a equação da aceleração:
a = q v B sinthetam
Rearranjando para encontrar sintheta:
sintheta = a mq v B
Substituindo os valores:
sintheta = 4,55 times 10^15, m/s^2 times 9,11 times 10^-31, kg1,60 times 10^-19, C times 1,40 times 10^6, m/s times 7,40 times 10^-2, T
Calculando o numerador e o denominador separadamente:
Numerador = 4,55 times 10^15 times 9,11 times 10^-31 = 4,14 times 10^-15
Denominador = 1,60 times 1,40 times 7,40 times 10^-19 +6 -2 = 1,60 times 1,40 times 7,40 times 10^-15 approx 1,66 times 10^-14
Portanto:
sintheta = 4,14 times 10^-151,66 times 10^-14 approx 0,25
Agora, para encontrar theta:
theta = arcsin(0,25) approx 14,48^circ

Resposta

a) O maior módulo da aceleração é aproximadamente 1,82 times 10^16 m/s² e o menor é 0 m/s².
b) O ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético é de aproximadamente 14,5^circ.

Exercícios relacionados