Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
, incluindo as constantes de integração, e em seguida determinar intervalos de integração apropriados (respeitando o domínio da função) e calcular integrais definidas nesses intervalos.
Informações dadas:
Informações dadas:
Observações obrigatórias do enunciado que eu já anotei: não esquecer as constantes de integração ao obter as primitivas; cuidado com os domínios das funções ao definir intervalos de integração (isto é, não usar intervalos que contenham pontos onde a função não está definida).
Passo 2
Vamos separar a integral usando a propriedade de linearidade da integral. Regra importante: para funções
e
e constantes
,
Aplicando ao nosso caso:
Agora vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 3
Calcular
.
Primeiro, lembro a integral básica:
. Explicação curta do porquê do valor absoluto: a função
só está definida para
, mas
também existe para
; usando
cobrimos ambos os ramos (positivo e negativo) porque
para
.
Multiplicando por (constante), obtemos:
Multiplicando por
onde
é uma constante de integração.
Passo 4
Calcular
.
A integral básica é
, porque a derivada de
é
. Multiplicando por
dá:
onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Combinar os resultados e escrever a primitiva geral.
Somando as duas primitivas e agrupando as constantes (podemos juntar
e
numa única constante
), obtemos a primitiva geral
Verificação rápida (checando derivada):
para
. Está correto.
Passo 6
Discutir domínio e escolher intervalos de integração permitidos.
A função integranda
não está definida em
por causa do termo
. Portanto o domínio natural da função é
. Para definir integrais definidas usando a primitiva acima, os intervalos devem estar contidos em um desses componentes (ou seja, não podem atravessar
). Assim, intervalos típicos válidos são, por exemplo,
(inteiro positivo) e
(inteiro negativo). Vou calcular as integrais definidas nesses dois intervalos como exemplos representativos.
Passo 7
Calcular a integral definida em
.
Usamos a primitiva
. Pela regra do teorema fundamental do cálculo:
Calculemos cada termo:
Subtraindo:
Passo 8
Calcular a integral definida em
.
Novamente, usar
. Como estamos em intervalo totalmente negativo,
mas usamos
diretamente.
Calculemos:
Subtraindo:
Resposta
Primitiva geral:
,
.
Escolhendo intervalos válidos (que não contêm ), por exemplo:
Escolhendo intervalos válidos (que não contêm