Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!)
(\mathrm{xv}) \int\left(\frac{2}{x}+3 e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) da função \frac{2}{x}+3e^{x}, incluindo as constantes de integração, e em seguida determinar intervalos de integração apropriados (respeitando o domínio da função) e calcular integrais definidas nesses intervalos.
Informações dadas:
\text{Integrando: } \frac{2}{x}+3e^{x}.
Observações obrigatórias do enunciado que eu já anotei: não esquecer as constantes de integração ao obter as primitivas; cuidado com os domínios das funções ao definir intervalos de integração (isto é, não usar intervalos que contenham pontos onde a função não está definida).

Passo 2

Vamos separar a integral usando a propriedade de linearidade da integral. Regra importante: para funções f e g e constantes a,b,
\int \bigl(a f(x) + b g(x)\bigr)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Aplicando ao nosso caso:
\int\left(\frac{2}{x}+3e^{x}\right)dx = \int \frac{2}{x}\,dx + \int 3e^{x}\,dx.
Agora vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 3

Calcular \int \dfrac{2}{x}\,dx.
Primeiro, lembro a integral básica: \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C. Explicação curta do porquê do valor absoluto: a função \ln x só está definida para x>0, mas \frac{1}{x} também existe para x<0; usando \ln|x| cobrimos ambos os ramos (positivo e negativo) porque \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x} para x\neq0.
Multiplicando por 2 (constante), obtemos:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln|x| + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração.

Passo 4

Calcular \int 3e^{x}\,dx.
A integral básica é \displaystyle \int e^{x}\,dx = e^{x} + C, porque a derivada de e^{x} é e^{x}. Multiplicando por 3 dá:
\int 3e^{x}\,dx = 3e^{x} + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.

Passo 5

Combinar os resultados e escrever a primitiva geral.
Somando as duas primitivas e agrupando as constantes (podemos juntar C_1 e C_2 numa única constante C), obtemos a primitiva geral
F(x) = 2\ln|x| + 3e^{x} + C,\qquad C\in\mathbb{R}.
Verificação rápida (checando derivada):
F'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(2\ln|x|\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(3e^{x}\bigr) = 2\cdot\frac{1}{x} + 3e^{x} = \frac{2}{x}+3e^{x},
para x\neq0. Está correto.

Passo 6

Discutir domínio e escolher intervalos de integração permitidos.
A função integranda \dfrac{2}{x}+3e^{x} não está definida em x=0 por causa do termo \dfrac{2}{x}. Portanto o domínio natural da função é (-\infty,0)\cup(0,\infty). Para definir integrais definidas usando a primitiva acima, os intervalos devem estar contidos em um desses componentes (ou seja, não podem atravessar 0). Assim, intervalos típicos válidos são, por exemplo, [1,2] (inteiro positivo) e [-2,-1] (inteiro negativo). Vou calcular as integrais definidas nesses dois intervalos como exemplos representativos.

Passo 7

Calcular a integral definida em [1,2].
Usamos a primitiva F(x)=2\ln|x|+3e^{x}. Pela regra do teorema fundamental do cálculo:
\int_{1}^{2}\left(\frac{2}{x}+3e^{x}\right)dx = F(2)-F(1).
Calculemos cada termo:
F(2)=2\ln|2|+3e^{2}=2\ln 2 + 3e^{2},
F(1)=2\ln|1|+3e^{1}=2\cdot 0 + 3e = 3e.
Subtraindo:
\int_{1}^{2}\left(\frac{2}{x}+3e^{x}\right)dx = \bigl(2\ln 2 + 3e^{2}\bigr) - 3e = 2\ln 2 + 3\bigl(e^{2}-e\bigr).

Passo 8

Calcular a integral definida em [-2,-1].
Novamente, usar F(x)=2\ln|x|+3e^{x}. Como estamos em intervalo totalmente negativo, |x|=-x mas usamos \ln|x| diretamente.
\int_{-2}^{-1}\left(\frac{2}{x}+3e^{x}\right)dx = F(-1)-F(-2).
Calculemos:
F(-1)=2\ln|-1|+3e^{-1}=2\ln 1 + 3e^{-1}=0 + 3e^{-1}=3e^{-1},
F(-2)=2\ln|-2|+3e^{-2}=2\ln 2 + 3e^{-2}.
Subtraindo:
\int_{-2}^{-1}\left(\frac{2}{x}+3e^{x}\right)dx = 3e^{-1} - \bigl(2\ln 2 + 3e^{-2}\bigr) = -2\ln 2 + 3\bigl(e^{-1}-e^{-2}\bigr).

Resposta

Primitiva geral: 2\ln|x| + 3e^{x} + C, C\in\mathbb{R}.
Escolhendo intervalos válidos (que não contêm 0), por exemplo:
\displaystyle \int_{1}^{2}\left(\frac{2}{x}+3e^{x}\right)dx = 2\ln 2 + 3\bigl(e^{2}-e\bigr).
\displaystyle \int_{-2}^{-1}\left(\frac{2}{x}+3e^{x}\right)dx = -2\ln 2 + 3\bigl(e^{-1}-e^{-2}\bigr).

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