3- Um fiscal do ministério do trabalho faz uma visita mensal a cada um das seis empresas de construção civil existentes no município. Para evitar que os donos dessas empresas saibam quando o fiscal as inspecionarà, ele varia a ordem de suas visitas. De quantas formas diferentes esse fiscal pode organizar o calendário de visitas mensal a essas empresas?

Passo 1

O enunciado diz que um fiscal visita, uma vez por mês, cada uma das 6 empresas de construção civil do município, e que ele varia a ordem das visitas para que os donos não saibam quando serão inspecionados. A pergunta é: de quantas formas diferentes ele pode organizar o calendário mensal de visitas a essas 6 empresas?
Informações relevantes: são 6 empresas distintas; cada mês ele faz uma sequência de 6 visitas, sem repetir (cada empresa aparece exatamente uma vez na sequência); a ordem das visitas importa (visita A no dia 1 e B no dia 2 é diferente de B no dia 1 e A no dia 2).

Passo 2

Princípio de contagem básico (regra do produto): quando você tem uma sequência de escolhas independentes e a primeira escolha pode ser feita de a maneiras, a segunda de b maneiras (dependendo da primeira), a terceira de c maneiras, etc., o total de sequências possíveis é o produto a\cdot b\cdot c\cdots. Vou usar isso aqui: cada posição na ordem (1.º, 2.º, …, 6.º lugar no calendário) é uma escolha, e o número de opções para cada posição depende de quantas empresas já foram escolhidas antes.

Passo 3

Aplicando ao problema: para a primeira visita do mês ele pode escolher qualquer uma das 6 empresas, então há 6 opções para a 1.ª posição. Depois de escolher a primeira, restam 5 empresas para a 2.ª posição, depois 4 para a 3.ª, e assim por diante, até sobrar 1 para a última posição. Pelo princípio do produto, o número total de ordens é
6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1.
Esse produto tem um nome: fatorial. Escrevemos esse produto como
6!.
Explicação do fatorial: para um número inteiro positivo n, o fatorial n! é definido como o produto de todos os inteiros positivos de 1 a n:
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1.
No caso n=6, temos 6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.

Passo 4

Vamos calcular o produto passo a passo (mostrando as contas como você faria na prova sem calculadora):
6\cdot 5 = 30,
30\cdot 4 = 120,
120\cdot 3 = 360,
360\cdot 2 = 720,
720\cdot 1 = 720.
Portanto 6! = 720.

Passo 5

Interpretação final: cada uma das 720 sequências corresponde a uma ordem diferente de visitas ao longo do mês (por exemplo, Empresa 3 → Empresa 1 → Empresa 6 → … é uma sequência, outra seria Empresa 1 → Empresa 3 → Empresa 6 → …). Não estamos identificando dias específicos nem considerando restrições adicionais; estamos simplesmente contando todas as permutações possíveis das 6 empresas.
Um exemplo pequeno para fixar: se fossem 3 empresas, o total seria 3\cdot2\cdot1 = 3! = 6 ordens possíveis. Listando rapidamente (A, B, C) as empresas, as ordens são ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA — são 6. Isso ajuda a entender por que fazemos o produto decrescente.

Passo 6

Dica para a prova: escreva direto 6! e, se pedirem o valor numérico, calcule passo a passo como fiz no Passo 4. Memorizar pequenos fatoriais ( 4!=24, 5!=120, 6!=720) economiza tempo.

Resposta

720

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