3- Um fiscal do ministério do trabalho faz uma visita mensal a cada um das seis empresas de construção civil existentes no município. Para evitar que os donos dessas empresas saibam quando o fiscal as inspecionarà, ele varia a ordem de suas visitas. De quantas formas diferentes esse fiscal pode organizar o calendário de visitas mensal a essas empresas?
Passo 1
O enunciado diz que um fiscal visita, uma vez por mês, cada uma das
empresas de construção civil do município, e que ele varia a ordem das visitas para que os donos não saibam quando serão inspecionados. A pergunta é: de quantas formas diferentes ele pode organizar o calendário mensal de visitas a essas
empresas?
Informações relevantes: são empresas distintas; cada mês ele faz uma sequência de
visitas, sem repetir (cada empresa aparece exatamente uma vez na sequência); a ordem das visitas importa (visita A no dia 1 e B no dia 2 é diferente de B no dia 1 e A no dia 2).
Informações relevantes: são
Passo 2
Princípio de contagem básico (regra do produto): quando você tem uma sequência de escolhas independentes e a primeira escolha pode ser feita de
maneiras, a segunda de
maneiras (dependendo da primeira), a terceira de
maneiras, etc., o total de sequências possíveis é o produto
. Vou usar isso aqui: cada posição na ordem (1.º, 2.º, …, 6.º lugar no calendário) é uma escolha, e o número de opções para cada posição depende de quantas empresas já foram escolhidas antes.
Passo 3
Aplicando ao problema: para a primeira visita do mês ele pode escolher qualquer uma das
empresas, então há
opções para a 1.ª posição. Depois de escolher a primeira, restam
empresas para a 2.ª posição, depois
para a 3.ª, e assim por diante, até sobrar
para a última posição. Pelo princípio do produto, o número total de ordens é
Esse produto tem um nome: fatorial. Escrevemos esse produto como
Explicação do fatorial: para um número inteiro positivo
, o fatorial
é definido como o produto de todos os inteiros positivos de
a
:
No caso
, temos
.
Passo 4
Vamos calcular o produto passo a passo (mostrando as contas como você faria na prova sem calculadora):
Portanto
.
Passo 5
Interpretação final: cada uma das
sequências corresponde a uma ordem diferente de visitas ao longo do mês (por exemplo, Empresa 3 → Empresa 1 → Empresa 6 → … é uma sequência, outra seria Empresa 1 → Empresa 3 → Empresa 6 → …). Não estamos identificando dias específicos nem considerando restrições adicionais; estamos simplesmente contando todas as permutações possíveis das
empresas.
Um exemplo pequeno para fixar: se fossem empresas, o total seria
ordens possíveis. Listando rapidamente (A, B, C) as empresas, as ordens são ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA — são
. Isso ajuda a entender por que fazemos o produto decrescente.
Um exemplo pequeno para fixar: se fossem
Passo 6
Dica para a prova: escreva direto
e, se pedirem o valor numérico, calcule passo a passo como fiz no Passo 4. Memorizar pequenos fatoriais (
,
,
) economiza tempo.