1- Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 23 paises, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 1^{\circ}. Iugar, Brasil; 2^{\circ}. Lugar, Nigéria; 3^{\circ}. Lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • ... países no total, com ... = ... = ... = ... (ou seja, ... = ... = ...).
  • Cada tampinha indica os países que ficariam em 1^{\circ}, 2^{\circ} e 3^{\circ} lugares.
  • Nos palpites de cada tampinha, os três países são distintos (ou seja, não há repetição entre 1^{\circ}, 2^{\circ} e 3^{\circ}).
O que é pedido: quantas tampinhas diferentes poderiam existir (ou seja, quantas sequências ordenadas de três países distintos podemos formar a partir dos ... países)?

Passo 2

Antes de calcular, vamos entender o princípio fundamental da contagem (explicação didática): se você precisa fazer duas escolhas independentes, e a primeira pode ser feita de a maneiras e, para cada escolha da primeira, a segunda pode ser feita de b maneiras, então o total de pares de escolhas é a\cdot b. Exemplo simples: se tenho ... camisas e ... calças, o número de combinações camisa+calça é ... \times .... Aqui aplicamos o mesmo raciocínio em sequência para três escolhas.

Passo 3

Aplicando isso ao problema: pense em preencher 1^{\circ}, depois 2^{\circ}, depois 3^{\circ}.
  • Número de opções para o 1^{\circ} lugar: há ... países, então ... opções.
  • Depois de escolher o 1^{\circ}, o 2^{\circ} não pode repetir esse país, então sobram ... opções.
  • Depois de escolher 1^{\circ} e 2^{\circ}, o 3^{\circ} não pode repetir nenhum dos dois, então sobram ... opções.
Portanto o total de sequências ordenadas possíveis é o produto dessas quantidades:
\text{total} = 23 \times 22 \times 21.

Passo 4

Vamos calcular passo a passo a multiplicação para você conseguir fazer na prova sem calculadora:
23 \times 22 = 506,
506 \times 21 = 506 \times (20+1) = 506\times20 + 506\times1 = 10120 + 506 = 10626.
Logo o produto dá ... = ....

Passo 5

Outra forma (fórmula de permutações) — explicando bem: para contar sequências ordenadas de k elementos distintos escolhidos de um conjunto com n elementos usamos a fórmula
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}.
Aqui n! (lê-se “n fatorial”) é n\times(n-1)\times\cdots\times1. No nosso caso n=23 e k=3, então
P(23,3)=\frac{23!}{(23-3)!}=\frac{23!}{20!}.
Como 23!=23\times22\times21\times20!, a divisão cancela o 20! e sobra 23\times22\times21, exatamente o que calculamos antes — confirmação de que estamos certos.

Passo 6

Pequeno exemplo extra para fixar: se fossem ... países em vez de ..., as tampinhas com 1^{\circ},2^{\circ},3^{\circ} distintos seriam 4\times3\times2=24. Isso mostra como o raciocínio sequencial funciona em casos menores e fáceis de conferir.

Passo 7

Resumo prático para a prova: escolha sequencialmente e multiplique as opções restantes a cada etapa, ou use P(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!} quando souber o n e k. No problema: \;23\cdot22\cdot21=10626. Você consegue — respira fundo, revisa esse raciocínio e parte pro próximo exercício!

Resposta

...10626...

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