1- Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 23 paises, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo:
. Iugar, Brasil;
. Lugar, Nigéria;
. Lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Há
países no total, com = = = (ou seja, = = ). - Cada tampinha indica os países que ficariam em
, e lugares. - Nos palpites de cada tampinha, os três países são distintos (ou seja, não há repetição entre
, e ).
O que é pedido: quantas tampinhas diferentes poderiam existir (ou seja, quantas sequências ordenadas de três países distintos podemos formar a partir dos
países)?
Passo 2
Antes de calcular, vamos entender o princípio fundamental da contagem (explicação didática): se você precisa fazer duas escolhas independentes, e a primeira pode ser feita de
maneiras e, para cada escolha da primeira, a segunda pode ser feita de
maneiras, então o total de pares de escolhas é
. Exemplo simples: se tenho
camisas e
calças, o número de combinações camisa+calça é
. Aqui aplicamos o mesmo raciocínio em sequência para três escolhas.
Passo 3
Aplicando isso ao problema: pense em preencher
, depois
, depois
.
- Número de opções para o
lugar: há países, então opções. - Depois de escolher o
, o não pode repetir esse país, então sobram opções. - Depois de escolher
e , o não pode repetir nenhum dos dois, então sobram opções.
Portanto o total de sequências ordenadas possíveis é o produto dessas quantidades:
Passo 4
Vamos calcular passo a passo a multiplicação para você conseguir fazer na prova sem calculadora:
Logo o produto dá
=
.
Passo 5
Outra forma (fórmula de permutações) — explicando bem: para contar sequências ordenadas de
elementos distintos escolhidos de um conjunto com
elementos usamos a fórmula
Aqui
(lê-se “n fatorial”) é
. No nosso caso
e
, então
Como
, a divisão cancela o
e sobra
, exatamente o que calculamos antes — confirmação de que estamos certos.
Passo 6
Pequeno exemplo extra para fixar: se fossem
países em vez de
, as tampinhas com
distintos seriam
. Isso mostra como o raciocínio sequencial funciona em casos menores e fáceis de conferir.
Passo 7
Resumo prático para a prova: escolha sequencialmente e multiplique as opções restantes a cada etapa, ou use
quando souber o
e
. No problema:
. Você consegue — respira fundo, revisa esse raciocínio e parte pro próximo exercício!