2- Um “Shopping Center” possui 5 portas de entrada para o andar térreo, 5 escadas rolantes ligando o térreo ao primeiro pavimento e 4 elevadores que conduzem do primeiro para o segundo pavimento. De quantas maneiras diferentes uma pessoa, partindo de fora do “Shopping Center” pode atingir o segundo pavimento usando os acessos mencionados?

Passo 1

O enunciado pergunta: de quantas maneiras diferentes uma pessoa, partindo de fora do “Shopping Center”, pode atingir o segundo pavimento usando apenas os acessos mencionados?
Informações dadas no enunciado:
  • O número de portas de entrada para o andar térreo é \;5.\n
  • O número de escadas rolantes ligando o térreo ao primeiro pavimento é \;5.\n
  • O número de elevadores que conduzem do primeiro para o segundo pavimento é \;4.\n
    A sequência de escolhas que a pessoa faz é: escolher uma porta (entrar), depois escolher uma escada rolante (ir ao primeiro pavimento), depois escolher um elevador (subir ao segundo pavimento). A tarefa é contar todas as sequências possíveis dessas escolhas.

Passo 2

Conceito que vamos usar: princípio fundamental da contagem (regra do produto). Vou explicar direitinho porque isso resolve o problema.
Se uma tarefa é feita em etapas sucessivas, e se em cada etapa i existem \;n_i opções possíveis, e as escolhas em cada etapa são independentes (ou seja, escolher numa etapa não elimina opções nas outras), então o número total de maneiras de completar todas as etapas é o produto das quantidades de opções de cada etapa:
\text{total} = n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_k.
Explicando as letras: \;n_1 é o número de opções na etapa 1, \;n_2 na etapa 2, e assim por diante até a etapa \;k. “Independentes” aqui significa que, por exemplo, escolher a porta \text{A} não impede que eu escolha qualquer das escadas rolantes depois — todas as combinações são possíveis.
Exemplo simples para fixar: se eu tenho \;3 camisetas e \;2 calças, o número de conjuntos camiseta+calça que posso formar é
3\cdot2=6.
Cada camiseta pode ser combinada com cada calça.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema, identifique as etapas e seus números de opções:
  • Etapa 1 (porta de entrada): \;n_1=5.\n
  • Etapa 2 (escada rolante do térreo ao 1º pavimento): \;n_2=5.\n
  • Etapa 3 (elevador do 1º ao 2º pavimento): \;n_3=4.\n
    As escolhas são independentes: qualquer porta pode ser seguida de qualquer escada rolante, que por sua vez pode ser seguida de qualquer elevador. Portanto usamos a regra do produto:
\text{total} = n_1\cdot n_2\cdot n_3

Passo 4

Substituindo os valores:
\text{total} = 5\cdot5\cdot4
Calcule passo a passo:
5\cdot5 = 25
25\cdot4 = 100
Logo o número total de maneiras distintas de chegar ao segundo pavimento, seguindo a sequência porta → escada rolante → elevador, é \;100.

Resposta

\;100

Exercícios relacionados