4- De quantos modos diferentes podemos dispor 6 meninas e 4 meninos em uma fila indiana de modo que as crianças de mesmo sexo fiquem juntas?

Passo 1

O enunciado pede: de quantos modos diferentes podemos dispor 6 meninas e 4 meninos em uma fila indiana de modo que as crianças de mesmo sexo fiquem juntas? \n
Informações dadas e importantes: \n
  • 6 meninas distintas. \n
  • 4 meninos distintos. \n
  • A disposição é em fila (ordem linear importa). \n
  • Condição: todas as meninas devem ficar juntas como um único grupo contínuo e todos os meninos também devem ficar juntos como outro grupo contínuo (ou seja, uma única sequência de meninas e uma única sequência de meninos, sem intercalação).

Passo 2

Ideia geral e princípio que vamos usar (explicado devagar): \n
  1. Se duas coleções de objetos têm de ficar cada uma como um bloco contínuo, podemos primeiro tratar cada bloco como um “superobjeto” e contar as maneiras de ordenar esses blocos. \n
  2. Depois, dentro de cada bloco, as pessoas podem trocar de ordem entre si; as permutações internas também contam. \n
  3. Pelo princípio multiplicativo (regra do produto): se há A maneiras de fazer a etapa 1 e, para cada escolha da etapa 1, B maneiras de fazer a etapa 2 e C maneiras de fazer a etapa 3, então o total é A\cdot B\cdot C. \n
    Também preciso te lembrar o que é fatorial: \n
  • Para um inteiro n\ge1, o fatorial n! é definido por n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1. \n
Exemplo rápido: 4! = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 24. Isso representa o número de maneiras de ordenar 4 objetos distintos numa fila.

Passo 3

Contagem dos blocos: \n
Temos dois blocos a ordenar: o bloco “meninas” (com 6 meninas) e o bloco “meninos” (com 4 meninos). \n
Esses dois blocos podem ser dispostos entre si de 2 maneiras: \n
  • bloco meninas seguido do bloco meninos, ou \n
  • bloco meninos seguido do bloco meninas. \n
Portanto, o número de arranjos das duas unidades-bloco é 2.

Passo 4

Permutações internas no bloco das meninas: \n
Dentro do bloco das meninas temos 6 meninas distintas, então o número de modos de ordenar só as meninas é 6!. \n
Calculemos 6! passo a passo (para você ver sem calculadora): \n
6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.
Fazendo as multiplicações em sequência: \n
6\cdot5 = 30,\quad 30\cdot4 = 120,\quad 120\cdot3 = 360,\quad 360\cdot2 = 720,\quad 720\cdot1 = 720.
Logo 6! = 720.

Passo 5

Permutações internas no bloco dos meninos: \n
Dentro do bloco dos meninos temos 4 meninos distintos, então o número de modos de ordenar só os meninos é 4!. \n
Calculemos 4!: \n
4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24.

Passo 6

Combinação final usando o princípio multiplicativo: \n
  • 2 maneiras de ordenar os blocos (passo 3), \n
  • 6! maneiras de ordenar as meninas dentro do seu bloco (passo 4), \n
  • 4! maneiras de ordenar os meninos dentro do seu bloco (passo 5). \n
Pelo princípio do produto, o total é 2 \cdot 6! \cdot 4!. \n
Agora calculamos numericamente: primeiro 6!\cdot 4! = 720 \cdot 24. \n
Calcule 720\cdot 24 sem calculadora mostrando as etapas: \n
720\cdot 24 = 720\cdot(20+4) = 720\cdot20 + 720\cdot4.
720\cdot20 = 14\,400,\quad 720\cdot4 = 2\,880.
720\cdot24 = 14\,400 + 2\,880 = 17\,280.
Finalmente multiplica por 2: 2\cdot 17\,280 = 34\,560.

Passo 7

Interpretação rápida e checagem mental: \n
Faz sentido que o número seja grande — estamos permutando 10 crianças com a restrição de manter os sexos juntos; tratar os sexos como blocos reduz muito as possibilidades comparado a 10!, e nossa resposta é compatível com a fórmula e os cálculos mostrados. Você conseguiu acompanhar os passos — mando um positivo aí, vamos em frente!

Resposta

\,34\,560

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