4- De quantos modos diferentes podemos dispor 6 meninas e 4 meninos em uma fila indiana de modo que as crianças de mesmo sexo fiquem juntas?
Passo 1
O enunciado pede: de quantos modos diferentes podemos dispor
meninas e
meninos em uma fila indiana de modo que as crianças de mesmo sexo fiquem juntas? \n
Informações dadas e importantes: \n
Informações dadas e importantes: \n
- Há
meninas distintas. \n - Há
meninos distintos. \n - A disposição é em fila (ordem linear importa). \n
- Condição: todas as meninas devem ficar juntas como um único grupo contínuo e todos os meninos também devem ficar juntos como outro grupo contínuo (ou seja, uma única sequência de meninas e uma única sequência de meninos, sem intercalação).
Passo 2
Ideia geral e princípio que vamos usar (explicado devagar): \n
- Se duas coleções de objetos têm de ficar cada uma como um bloco contínuo, podemos primeiro tratar cada bloco como um “superobjeto” e contar as maneiras de ordenar esses blocos. \n
- Depois, dentro de cada bloco, as pessoas podem trocar de ordem entre si; as permutações internas também contam. \n
- Pelo princípio multiplicativo (regra do produto): se há
maneiras de fazer a etapa 1 e, para cada escolha da etapa 1, maneiras de fazer a etapa 2 e maneiras de fazer a etapa 3, então o total é . \n
Também preciso te lembrar o que é fatorial: \n
- Para um inteiro
, o fatorial é definido por \n
Exemplo rápido:
. Isso representa o número de maneiras de ordenar
objetos distintos numa fila.
Passo 3
Contagem dos blocos: \n
Temos dois blocos a ordenar: o bloco “meninas” (com meninas) e o bloco “meninos” (com
meninos). \n
Temos dois blocos a ordenar: o bloco “meninas” (com
Esses dois blocos podem ser dispostos entre si de
maneiras: \n
- bloco meninas seguido do bloco meninos, ou \n
- bloco meninos seguido do bloco meninas. \n
Portanto, o número de arranjos das duas unidades-bloco é
Passo 4
Permutações internas no bloco das meninas: \n
Dentro do bloco das meninas temos
meninas distintas, então o número de modos de ordenar só as meninas é
\n
Calculemos
passo a passo (para você ver sem calculadora): \n
Fazendo as multiplicações em sequência: \n
Logo
Passo 5
Permutações internas no bloco dos meninos: \n
Dentro do bloco dos meninos temos
meninos distintos, então o número de modos de ordenar só os meninos é
\n
Calculemos
: \n
Passo 6
Combinação final usando o princípio multiplicativo: \n
-
maneiras de ordenar os blocos (passo 3), \n -
maneiras de ordenar as meninas dentro do seu bloco (passo 4), \n -
maneiras de ordenar os meninos dentro do seu bloco (passo 5). \n
Pelo princípio do produto, o total é
\n
Agora calculamos numericamente: primeiro
\n
Calcule
sem calculadora mostrando as etapas: \n
Finalmente multiplica por
:
Passo 7
Interpretação rápida e checagem mental: \n
Faz sentido que o número seja grande — estamos permutando crianças com a restrição de manter os sexos juntos; tratar os sexos como blocos reduz muito as possibilidades comparado a
, e nossa resposta é compatível com a fórmula e os cálculos mostrados. Você conseguiu acompanhar os passos — mando um positivo aí, vamos em frente!
Faz sentido que o número seja grande — estamos permutando