(Física) Para formar uma bateria de 1,6 \mu F que possa resistir a uma diferença de potencial de 5 k V, dispomos de capacitores de 2 \mu F, que podem suportar 1 k V. Calcular:
a. O número de capacitores necessário e a forma de agrupá-los.
b. A energia da bateria.
c. Se a energia máxima armazenada for utilizada para fundir 2 g de gelo a 0^{\circ} C, qual será o estado final?

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos dá alguns dados. Vou listar claramente o que foi pedido e os dados fornecidos, sem resolver ainda.
  • Perguntas:
    1. (a) Quantos capacitores são necessários e como agrupá‑los para obter uma “bateria” com as características pedidas?
    2. (b) Qual é a energia armazenada por essa bateria?
    3. (c) Se essa energia for usada para fundir 2\\ \mathrm{g} de gelo a 0^\circ\mathrm{C}, qual será o estado final (tudo derrete? parte derrete? que temperatura?)?
  • Dados do enunciado:
    • Cada capacitor disponível tem capacitância \;C_0 = 2\\ \mu\mathrm{F}.
    • Cada capacitor suporta uma diferença de potencial máxima \;V_{0} = 1\\ \mathrm{kV}.
    • Queremos uma bateria com capacitância total \;C_{\text{b}} = 1,6\\ \mu\mathrm{F}.
    • Queremos que a bateria suporte uma diferença de potencial \;V_{\text{b}} = 5\\ \mathrm{kV}.
    • Para a fusão do gelo usarei o calor latente de fusão do gelo \;L_f \approx 334\\ \mathrm{J/g} (valor padrão aproximado).

Passo 2

Explicação didática sobre como combinar capacitores e determinação do arranjo (parte a).
  • Conceitos básicos (mastigados):
    • Capacitores em série: quando você liga n capacitores idênticos em série, a capacitância equivalente \;C_{\text{serie}} fica menor e é dada por C_{\text{serie}}=\frac{C_0}{n}.Intuição: cargas são as mesmas, as tensões somam, então a capacidade total diminui.
    • A vantagem de ligar em série é aumentar a tensão máxima suportada: se cada capacitor aguenta \;V_0, então n em série aguenta \;nV_0.
    • Capacitores em paralelo: quando você liga m ramos (cada ramo com sua capacitância) em paralelo, as capacitâncias somam: C_{\text{total}}=m\cdot C_{\text{ramo}}.Intuição: cada ramo aporta carga extra à mesma tensão, então a capacitância aumenta.
  • Aplicando ao problema:
    • Precisamos que um ramo em série suporte pelo menos \;V_{\text{b}}=5\\ \mathrm{kV}. Como cada capacitor suporta \;V_0=1\\ \mathrm{kV}, o número mínimo n em série satisfaz nV_0 \ge V_{\text{b}}\quad\Rightarrow\quad n \ge \frac{V_{\text{b}}}{V_0}=\frac{5\\ \mathrm{kV}}{1\\ \mathrm{kV}}=5.Portanto escolhemos n=5 capacitores em série por ramo (é o mínimo que garante 5\\ \mathrm{kV}).
    • A capacitância de um ramo com 5 capacitores em série é C_{\text{ramo}}=\frac{C_0}{n}=\frac{2\\ \mu\mathrm{F}}{5}=0,4\\ \mu\mathrm{F}.( aqui convertendo mentalmente: 2/5=0{,}4).
    • Para atingir a capacitância total desejada \;C_{\text{b}}=1,6\\ \mu\mathrm{F} com ramos de \;0,4\\ \mu\mathrm{F}, precisamos de m ramos em paralelo tal que m\cdot C_{\text{ramo}} = C_{\text{b}}\quad\Rightarrow\quad m=\frac{C_{\text{b}}}{C_{\text{ramo}}}=\frac{1,6\\ \mu\mathrm{F}}{0,4\\ \mu\mathrm{F}}=4.
    • Logo, a solução inteira e mínima é montar m=4 ramos em paralelo, cada ramo com n=5 capacitores em série.
    • Número total de capacitores: N_{\text{total}}=n\cdot m = 5\cdot4 = 20.
Comentário prático: escolhemos o menor n inteiro que atinja 5\\ \mathrm{kV}. Poderíamos usar múltiplos maiores de 5 (ex.: 10 em série) e ajustar m, mas isso tenderia a aumentar o número total de peças; a solução dada é a mais econômica em número de capacitores.

Passo 3

Cálculo da energia armazenada (parte b), com explicação da fórmula.
  • Fórmula da energia armazenada num capacitor (ou conjunto equivalente) carregado a uma diferença de potencial V:
    E=\frac{1}{2}CV^{2},
    onde:
    • E é a energia em joules ( \mathrm{J}),
    • C é a capacitância em farads ( \mathrm{F}),
    • V é a diferença de potencial em volts ( \mathrm{V}).
  • Aqui usamos a capacitância total \;C_{\text{b}}=1,6\\ \mu\mathrm{F}=1,6\times10^{-6}\\ \mathrm{F} e a tensão \;V_{\text{b}}=5\\ \mathrm{kV}=5\times10^{3}\\ \mathrm{V}. Substituindo:
    E=\frac{1}{2}\cdot\bigl(1,6\times10^{-6}\\ \mathrm{F}\bigr)\cdot\bigl(5\times10^{3}\\ \mathrm{V}\bigr)^{2}.
    Calcule passo a passo:
    (5\times10^{3})^{2}=25\times10^{6},
1,6\times10^{-6}\cdot25\times10^{6}=1,6\cdot25=40,
E=\frac{1}{2}\cdot 40 = 20\\ \mathrm{J}.
  • Conclusão: a bateria armazena 20\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Avaliação do que essa energia pode fazer ao gelo (parte c). Conceito de calor latente e aplicação.
  • Conceito: para derreter gelo a 0^\circ\mathrm{C} sem variar a temperatura, a energia necessária é o calor latente de fusão multiplicado pela massa. A fórmula é
    Q = m L_f,
    onde:
    • Q é a energia necessária (J),
    • m é a massa (g),
    • L_f é o calor latente de fusão ( \mathrm{J/g}). Usaremos L_f\approx334\\ \mathrm{J/g}.
  • Energia necessária para derreter \;2\\ \mathrm{g} de gelo:
    Q_{\text{necessário}} = 2\\ \mathrm{g}\times 334\\ \mathrm{J/g} = 668\\ \mathrm{J}.á
  • Comparação com a energia disponível da bateria:
    E_{\text{disponível}} = 20\\ \mathrm{J} \ll 668\\ \mathrm{J}.í
    Portanto a energia não é suficiente para derreter completamente 2\\ \mathrm{g} de gelo.

Passo 5

Quanto de gelo efetivamente derrete com os 20\\ \mathrm{J} e qual o estado final.
  • Massa que pode ser derretida usando toda a energia E: m_{\text{derretida}}=\frac{E}{L_f}=\frac{20\\ \mathrm{J}}{334\\ \mathrm{J/g}}\approx 0,0599\\ \mathrm{g}.Arredondando razoavelmente: \approx 0,060\\ \mathrm{g}.
  • Massa de gelo que fica sólida: m_{\text{restante}}=2\\ \mathrm{g}-0,0599\\ \mathrm{g}\approx 1,9401\\ \mathrm{g}\\ (\text{aprox. }1,94\\ \mathrm{g}).
  • Temperatura final: como toda energia foi usada na fusão parcial, a temperatura do conjunto permanece 0^\circ\mathrm{C} — teremos uma mistura de água líquida e gelo sólido em equilíbrio térmico a 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Resumo final sucinto (preparação para a resposta final): já temos o número de capacitores e o arranjo, a energia calculada e a massa derretida com conclusão sobre o estado final.

Resposta

(a) 20 capacitores, agrupados em 4 ramos em paralelo de 5 capacitores em série cada (ou seja, 4\times5).
(b) 20\\ \mathrm{J}.
(c) Não derrete todo o gelo; derrete aproximadamente 0,060\\ \mathrm{g} de gelo. Estado final: mistura de água e gelo a 0^\circ\mathrm{C} (cerca de 1,94\\ \mathrm{g} de gelo restante).

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