1. Probabilidade: Em teoria das probabilidades, a série \sum_{n=1}^{\infty} n p(1-p)^{n-1} converge para 1 / p para 0<p<1. Verifique esta afirmação usando testes de convergência.
  2. Física - Série de Decaimento: Um material radioativo decai de forma que a quantidade restante após n anos é dada por a_{n}=e^{-0.01 n}. A série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} representa a quantidade total de material que decairá ao longo do tempo infinito. Esta série converge? Se sim, para qual valor?

Passo 1

Temos duas séries infinitas para analisar e somar. A primeira é
\sum_{n=1}^{\infty} n\,p\,(1-p)^{n-1},
com 0<p<1. Trata-se de uma série de termos positivos que envolve o parâmetro p e potência de 1-p. A segunda é
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\quad\text{com}\quad a_{n}=e^{-0.01\,n},
que é claramente uma série geométrica em que o termo geral decai exponencialmente. Vamos usar o teste da razão para verificar convergência da primeira e a fórmula de soma de série geométrica para obter o valor de cada uma.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à série \displaystyle a_{n}=n\,p\,(1-p)^{n-1}. Calculemos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\,p\,(1-p)^{n}}{n\,p\,(1-p)^{n-1}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\,(1-p) =(1-p)\,<\,1,
pois 0<p<1. Como L<1, a série converge absolutamente.

Passo 3

Para somar \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n\,p\,(1-p)^{n-1}, note que a conhecida série de potências diz
\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{\,n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}},\qquad |x|<1.
Aqui x=1-p, logo
\sum_{n=1}^{\infty}n\,(1-p)^{n-1}=\frac{1}{\bigl(1-(1-p)\bigr)^{2}} =\frac{1}{p^{2}}.
Multiplicando tudo por p, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}n\,p\,(1-p)^{n-1} =p\cdot\frac{1}{p^{2}} =\frac{1}{p}.

Passo 4

A segunda série é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}e^{-0.01\,n}. É uma série geométrica de razão \displaystyle r=e^{-0.01}, com |r|<1. Logo ela converge e soma-se por
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n} =\frac{r}{1-r}.
Substituindo r=e^{-0.01}, temos
\sum_{n=1}^{\infty}e^{-0.01\,n} =\frac{e^{-0.01}}{1-e^{-0.01}}.

Resposta

(3) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n\,p\,(1-p)^{n-1}=\frac{1}{p}.
(4) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}e^{-0.01\,n}=\frac{e^{-0.01}}{1-e^{-0.01}}.

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