- Probabilidade: Em teoria das probabilidades, a série
converge para
para
. Verifique esta afirmação usando testes de convergência.
- Física - Série de Decaimento: Um material radioativo decai de forma que a quantidade restante após
anos é dada por
. A série
representa a quantidade total de material que decairá ao longo do tempo infinito. Esta série converge? Se sim, para qual valor?
Passo 1
Temos duas séries infinitas para analisar e somar. A primeira é
com
. Trata-se de uma série de termos positivos que envolve o parâmetro
e potência de
. A segunda é
que é claramente uma série geométrica em que o termo geral decai exponencialmente. Vamos usar o teste da razão para verificar convergência da primeira e a fórmula de soma de série geométrica para obter o valor de cada uma.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão à série
. Calculemos
pois
. Como
, a série converge absolutamente.
Passo 3
Para somar
, note que a conhecida série de potências diz
Aqui
, logo
Multiplicando tudo por
, obtemos
Passo 4
A segunda série é
. É uma série geométrica de razão
, com
. Logo ela converge e soma-se por
Substituindo
, temos
Resposta
(3)
(4)
(4)