Ache alguns termos da série de Fourier das seguintes funções:
e) f(x)=x^{3}+2 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar alguns termos da série de Fourier da função f(x)=x^{3}+2x considerada periódica de período 2\pi em [-\,\pi,\pi]. Vamos usar o conceito de paridade para simplificar e depois calcular os coeficientes por integrais definidas.

Passo 2

Observamos que x^{3} e 2x são ambas funções ímpares, logo
f(-x)=(-x)^{3}+2(-x)=-\bigl(x^{3}+2x\bigr)=-f(x).
Para uma função ímpar de período 2\pi, todos os coeficientes a_{0} e a_{n} são zero, e a série de Fourier fica só com termos de seno:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin(nx).

Passo 3

O coeficiente b_{n} para função ímpar em [-\,\pi,\pi] é
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx.
Substituindo f(x)=x^{3}+2x, temos
b_{n}=\frac{2}{\pi}\Bigl(\int_{0}^{\pi}x^{3}\sin(nx)\,dx +\int_{0}^{\pi}2x\sin(nx)\,dx\Bigr).

Passo 4

Calculemos primeiro
I_{1}=\int_{0}^{\pi}x^{3}\sin(nx)\,dx.
Aplicando integração por partes três vezes, chega-se a
I_{1}=(-1)^{\,n+1}\Bigl(\frac{\pi^{3}}{n}+\frac{6\pi}{n^{3}}\Bigr).

Passo 5

Agora
I_{2}=\int_{0}^{\pi}2x\sin(nx)\,dx =2\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx =2\,(-1)^{\,n+1}\frac{\pi}{n}.

Passo 6

Somando em b_{n},
b_{n}=\frac{2}{\pi}\Bigl[\,(-1)^{\,n+1}\Bigl(\frac{\pi^{3}}{n}+\frac{6\pi}{n^{3}}\Bigr) +2\,(-1)^{\,n+1}\frac{\pi}{n}\Bigr] =2(-1)^{\,n+1}\Bigl(\frac{\pi^{2}+2}{n}+\frac{6}{n^{3}}\Bigr).

Passo 7

Portanto a série de Fourier de f(x) é
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}2(-1)^{\,n+1}\Bigl(\frac{\pi^{2}+2}{n}+\frac{6}{n^{3}}\Bigr)\sin(nx).
Os primeiros termos (para n=1,2,3) são:
n=1:\quad b_{1}=2\bigl(\pi^{2}+8\bigr) \quad\Rightarrow\quad(2\pi^{2}+16)\sin x,
n=2:\quad b_{2}=-\bigl(\pi^{2}+\tfrac{7}{2}\bigr) \quad\Rightarrow\quad-(\pi^{2}+\tfrac{7}{2})\sin(2x),
n=3:\quad b_{3}=\frac{6\pi^{2}+16}{9} \quad\Rightarrow\quad\frac{6\pi^{2}+16}{9}\,\sin(3x).

Resposta

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}2(-1)^{\,n+1}\Bigl(\tfrac{\pi^{2}+2}{n}+\tfrac{6}{n^{3}}\Bigr)\sin(nx) =(2\pi^{2}+16)\sin x-(\pi^{2}+\tfrac{7}{2})\sin(2x)+\tfrac{6\pi^{2}+16}{9}\sin(3x)+\cdots

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