Calcule, em torno do ponto ( 0,0 ), a série de Taylor para as funções abaixo.
c) f(x, y)=\operatorname{sen} x \operatorname{sen} y

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor (Maclaurin) de
f(x,y)=\sin x \; \sin y
ao redor de (0,0). Vamos usar a expansão em série de Maclaurin de \sin x e \sin y e depois multiplicar.

Passo 2

Recordando a expansão em Maclaurin de \sin x:
\sin x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \,\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
e análogo para \sin y:
\sin y = \sum_{\ell=0}^{\infty} (-1)^\ell \,\frac{y^{2\ell+1}}{(2\ell+1)!}.

Passo 3

Para obter \sin x\,\sin y, basta multiplicar as duas séries termo a termo:
\sin x\,\sin y = \Bigl(\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \,\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\Bigr) \Bigl(\sum_{\ell=0}^{\infty} (-1)^\ell \,\frac{y^{2\ell+1}}{(2\ell+1)!}\Bigr).

Passo 4

Se quiser ver os primeiros termos, faça a expansão manual até ordem 4 em x,y:
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5), \quad \sin y = y - \frac{y^3}{6} + O(y^5),
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\sin x\,\sin y = \Bigl(x - \tfrac{x^3}{6} + O(x^5)\Bigr) \Bigl(y - \tfrac{y^3}{6} + O(y^5)\Bigr) = xy - \frac{x^3y}{6} - \frac{x\,y^3}{6} + \frac{x^3y^3}{36} + O(5).

Passo 5

A forma geral da série de Maclaurin fica
\sin x\,\sin y = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{\ell=0}^{\infty} (-1)^{\,k+\ell}\, \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\, \frac{y^{2\ell+1}}{(2\ell+1)!}.

Resposta

\boxed{ \sin x\,\sin y = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{\ell=0}^{\infty} (-1)^{k+\ell}\, \frac{x^{2k+1}\,y^{2\ell+1}}{(2k+1)!\,(2\ell+1)!} }

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