*42. Uma amostra de um grama de rádio { }_{88}^{224} \mathrm{Ra} (massa atômica = 224,020186 \mathrm{u}, T_{1 / 2}=3,66 dias) contém 2,69 \times 10^{21} núcleos e sofre um decaimento \alpha para produzir radônio { }_{86}^{220} \mathrm{Rn} (massa atômica =220,011 368 u). A massa atômica de uma partícula \alpha é igual a 4,002 603 u. O calor latente de fusão da água é igual a 33,5 \times 10^{4} \mathrm{~J} / \mathrm{kg}. Com a energia
liberada em 3,66 dias, quantos quilogramas de gelo poderiam ser derretidos a 0^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma amostra de 1 g de {}^{224}_{88}\mathrm{Ra} com N_{0}=2{,}69\times10^{21} núcleos, que decaem por emissão de partícula \alpha até {}^{220}_{86}\mathrm{Rn} em um tempo igual ao tempo de meia‐vida T_{1/2}=3{,}66 d. As massas atômicas envolvidas são
m(\mathrm{Ra})=224{,}020186\;\mathrm{u},\quad m(\mathrm{Rn})=220{,}011368\;\mathrm{u},\quad m(\alpha)=4{,}002603\;\mathrm{u},
e o calor latente de fusão do gelo é
L_f=33{,}5\times10^{4}\;\mathrm{J/kg}.
Vamos calcular a energia liberada em um período T_{1/2} e depois ver quantos quilogramas de gelo essa energia derreteria.

Passo 2

Calculamos a massa‐defeito por decaimento (em unidades atômicas)
\Delta m = m(\mathrm{Ra}) - m(\mathrm{Rn}) - m(\alpha) =224{,}020186 - 220{,}011368 - 4{,}002603 =0{,}006215\;\mathrm{u}.
Convertendo para quilogramas sabendo que 1\;\mathrm{u}=1{,}66054\times10^{-27}\,\mathrm{kg},
\Delta m =0{,}006215\times1{,}66054\times10^{-27}\;\mathrm{kg} =1{,}0325\times10^{-29}\;\mathrm{kg}.

Passo 3

A energia liberada por decaimento vem de \Delta E=\Delta m\,c^2. Tomando c=3{,}00\times10^8\;\mathrm{m/s},
E_{\mathrm{dec}} =\Delta m\;c^2 =1{,}0325\times10^{-29}\times(3{,}00\times10^8)^2\;\mathrm{J} =9{,}29\times10^{-13}\;\mathrm{J\;(por\,decaimento)}.

Passo 4

Num intervalo igual a uma meia‐vida, metade dos núcleos decai. Logo o número de decaimentos é
N_{\mathrm{dec}} =\frac{N_{0}}{2} =\frac{2{,}69\times10^{21}}{2} =1{,}345\times10^{21}.

Passo 5

A energia total liberada em T_{1/2} é
E_{\mathrm{tot}} =E_{\mathrm{dec}}\times N_{\mathrm{dec}} =9{,}29\times10^{-13}\times1{,}345\times10^{21}\;\mathrm{J} =1{,}25\times10^{9}\;\mathrm{J}.

Passo 6

Para derreter gelo à 0^\circ\mathrm{C}, a energia necessária é Q=m_{\mathrm{gelo}}\,L_f. Logo
m_{\mathrm{gelo}} =\frac{E_{\mathrm{tot}}}{L_f} =\frac{1{,}25\times10^{9}}{33{,}5\times10^{4}}\;\mathrm{kg} \approx3{,}7\times10^{3}\;\mathrm{kg}.

Resposta

A energia liberada em 3{,}66 dias derreteria cerca de 3{,}7\times10^{3} kg de gelo a 0^\circ\mathrm{C}.

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