Um pedregulho de 245 kg é solto em um poço de uma mina que tem 3,00 \times 10^{3} \mathrm{~m} de profundidade. Durante a queda do pedregulho, o sistema formado pela Terra e pelo pedregulho perde certa quantidade de energia potencial gravitacional. Seria necessária uma quantidade igual de energia para “liberar” o pedregulho do poço, elevando-o de volta até o alto do poço, de modo que esta pode ser considerada a energia de ligação do sistema. (a) Determine a energia de ligação (em joules) do sistema Terra-pedregulho. (b) Quanta massa o sistema Terra-pedregulho perde quando o pedregulho cai até o fundo do poço?

Passo 1

O enunciado pede a energia de ligação do sistema Terra-pedregulho, isto é a variação de energia potencial gravitacional quando o pedregulho de massa m cai de uma altura h, e a correspondente perda de massa via equivalência massa-energia. Vamos usar as fórmulas:
\Delta U = m\,g\,h
\Delta m = \frac{\Delta U}{c^2}
Os dados são m=245\\ \mathrm{kg}, h=3,00\times10^3\\ \mathrm{m}, g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} e c=3,00\times10^8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Aplicando \Delta U = m\,g\,h e substituindo os valores, calculamos
\Delta U = 245 \times 9{,}8 \times 3{,}00\times10^3 = 7{,}203\times10^6\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos,
\Delta U \approx 7{,}20\times10^6\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Usando \Delta m = \Delta U/c^2 com c^2 = (3{,}00\times10^8)^2 = 9{,}00\times10^{16}, obtemos
\Delta m = \frac{7{,}20\times10^6}{9{,}00\times10^{16}} = 8{,}00\times10^{-11}\\ \mathrm{kg}.

Resposta

(a) 7,20\times10^6\\ \mathrm{J}
(b) 8,00\times10^{-11}\\ \mathrm{kg}

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