*17. Dois isótopos de certo elemento têm energias de ligação que diferem em 5,03 \mathrm{MeV}. O isótopo com a maior energia de ligação contém um nêutron a mais do que o outro isótopo. Ache a diferença entre as massas atômicas dos dois isótopos.
*18. Uma moeda de cobre tem uma massa igual a 3,0 \mathrm{~g}. Determine a energia (em MeV) que seria necessária para separar todos os núcleos de cobre nos seus prótons e nêutrons constituintes. Ignore a energia que liga os elétrons ao núcleo e a energia que liga um átomo a outro na estrutura do metal. Para simplificar, suponha que todos os núcleos de cobre sejam de { }_{29}^{63} \mathrm{Cu} (massa atômica =62,939598 \mathrm{u} ).

Passo 1

Enunciado do problema 17: dois isótopos de um elemento diferem em um nêutron e têm energias de ligação que diferem em \,5{,}03\\ \mathrm{MeV}. O isótopo com maior energia de ligação (o que tem um nêutron a mais) pesa menos, em massa atômica, do que o outro considerado apenas pela energia de ligação adicional. Vamos usar a relação
\Delta E = \Delta m\,c^2
e converter energia em massa atômica usando 1\\ \mathrm{u} = 931{,}494\\ \mathrm{MeV}/c^2.

Passo 2

Diferença de massa de ligação em unidades de massa atômica:
\frac{\Delta E}{c^2} = \frac{5{,}03\\ \mathrm{MeV}}{931{,}494\\ \mathrm{MeV/u}} \approx 0{,}005400\\ \mathrm{u}.
Como o isótopo mais pesado (um nêutron a mais) tem massa atômica \,m_n = 1{,}008664915\\ \mathrm{u},
a diferença entre as massas atômicas é
\Delta m = m_n \;-\;\frac{\Delta E}{c^2} = 1{,}008664915\\ \mathrm{u} \;-\; 0{,}005400\\ \mathrm{u} \approx 1{,}003265\\ \mathrm{u}.

Passo 3

Convertendo para quilogramas usando 1\\ \mathrm{u}=1{,}660539\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}:
\Delta m \approx 1{,}003265\\ \mathrm{u}\times1{,}660539\times10^{-27}\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{u}} \approx 1{,}667\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Enunciado do problema 18: uma moeda de cobre de massa 3{,}0\\ \mathrm{g} é inteiramente formada por núcleos de {}_{29}^{63}\mathrm{Cu} de massa atômica 62{,}939598\\ \mathrm{u}. Queremos a energia, em MeV, para desagregar cada núcleo em prótons e nêutrons. Usamos binding energy por núcleo dada por
B = \bigl[Z\,m_p + N\,m_n - m_{\rm nuc}\bigr]\,c^2,
onde m_{\rm nuc}=m_{\rm atômica}-Z\,m_eô.

Passo 5

Calcular a massa nuclear:
m_{\rm nuc} = 62{,}939598\\ \mathrm{u} \;-\;29\times0{,}000548579909\\ \mathrm{u} = 62{,}9236894\\ \mathrm{u}.
Massa dos constituintes:
29\,m_p + 34\,m_n = 29\times1{,}007276467\\ \mathrm{u} +34\times1{,}008664916\\ \mathrm{u} = 63{,}505100\\ \mathrm{u}.
Logo o defeito de massa por núcleo é
\Delta m =63{,}505100\\ \mathrm{u} -62{,}9236894\\ \mathrm{u} =0{,}5814106\\ \mathrm{u},
e a energia de ligação por núcleo vale
B =\Delta m\times931{,}494\\ \frac{\mathrm{MeV}}{\mathrm{u}} \approx 0{,}5814106\times931{,}494 \approx 541{,}8\\ \mathrm{MeV}.

Passo 6

Número de núcleos na moeda:
n =\frac{3{,}0\\ \mathrm{g}}{62{,}939598\\ \mathrm{g/mol}} \times6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{núcleos/mol} \approx2{,}868\times10^{22}\\ \mathrm{núcleos}.úú
Energia total para desagregá-los:
E_{\rm total} =n\times B \approx2{,}868\times10^{22}\times541{,}8\\ \mathrm{MeV} \approx1{,}55\times10^{25}\\ \mathrm{MeV}.

Resposta

  1. A diferença entre as massas atômicas é aproximadamente \Delta m\approx1{,}0033\\ \mathrm{u}\approx1{,}667\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}. 18. A energia necessária é aproximadamente 1{,}55\times10^{25}\\ \mathrm{MeV}.

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