Uma concha esférica tem raios externo de e interno de . A parede da concha tem espessura uniforme e
é feita de um material com densidade . O espaço interno da concha é preenchido com um líquido de densidade . © Qual é essa massa máxima?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma concha esférica com raio externo de e raio interno de . A parede da concha é feita de um material com densidade e tem espessura uniforme. Além disso, o espaço interno está cheio de um líquido com densidade . Nosso objetivo aqui é encontrar a massa máxima dessa concha, ou seja, a soma da massa da parede e da massa do líquido dentro dela. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de volume de esferas e conchas, além de entender como calcular a massa a partir da densidade e do volume.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume da parede da concha. A parede é basicamente a diferença entre o volume da esfera externa e o volume da esfera interna. A fórmula do volume de uma esfera é:
Então, o volume da parede é:

Passo 3

Agora, calculamos o volume do líquido dentro da concha. Como o líquido preenche o espaço interno, o volume í é igual ao volume da esfera interna:
í

Passo 4

Com os volumes calculados, podemos encontrar a massa da parede da concha e a massa do líquido. A massa é dada por:
Então, a massa da parede é:
E a massa do líquido í é:
í

Passo 5

A massa total da concha será a soma da massa da parede e da massa do líquido:
í
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar a massa máxima, precisamos derivar em relação a e igualar a zero. Isso porque o ponto de máximo ocorre onde a derivada é zero.
Igualando a zero:
Isso não faz sentido físico, então precisamos reconsiderar. Na verdade, a massa total aumenta conforme diminui, já que mais material da parede é usado. Portanto, a massa máxima ocorre quando é mínimo possível, ou seja, quando a espessura da parede é máxima.

Passo 7

Considerando que a espessura da parede é uniforme e o raio externo é fixo, o raio interno mínimo í é zero. Assim, toda a concha seria o material da parede sem espaço interno. A massa máxima então é apenas a massa da esfera externa:

Resposta

A massa máxima da concha é aproximadamente .

Exercícios de Livros Relacionados