Uma concha esférica tem raios externo de
e interno de
. A parede da concha tem espessura uniforme e
é feita de um material com densidade
. O espaço interno da concha é preenchido com um líquido de densidade
. © Qual é essa massa máxima?
é feita de um material com densidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma concha esférica com raio externo de
e raio interno de
. A parede da concha é feita de um material com densidade
e tem espessura uniforme. Além disso, o espaço interno está cheio de um líquido com densidade
. Nosso objetivo aqui é encontrar a massa máxima dessa concha, ou seja, a soma da massa da parede e da massa do líquido dentro dela. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de volume de esferas e conchas, além de entender como calcular a massa a partir da densidade e do volume.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume da parede da concha. A parede é basicamente a diferença entre o volume da esfera externa e o volume da esfera interna. A fórmula do volume de uma esfera é:
Então, o volume da parede
é:
Passo 3
Agora, calculamos o volume do líquido dentro da concha. Como o líquido preenche o espaço interno, o volume
é igual ao volume da esfera interna:
Passo 4
Com os volumes calculados, podemos encontrar a massa da parede da concha e a massa do líquido. A massa
é dada por:
Então, a massa da parede
é:
E a massa do líquido
é:
Passo 5
A massa total
da concha será a soma da massa da parede e da massa do líquido:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar a massa máxima, precisamos derivar
em relação a
e igualar a zero. Isso porque o ponto de máximo ocorre onde a derivada é zero.
Igualando a zero:
Isso não faz sentido físico, então precisamos reconsiderar. Na verdade, a massa total aumenta conforme
diminui, já que mais material da parede é usado. Portanto, a massa máxima ocorre quando
é mínimo possível, ou seja, quando a espessura da parede é máxima.
Passo 7
Considerando que a espessura da parede é uniforme e o raio externo é fixo, o raio interno mínimo
é zero. Assim, toda a concha seria o material da parede sem espaço interno. A massa máxima então é apenas a massa da esfera externa:
Resposta
A massa máxima da concha é aproximadamente
.