Moedas de coleção são às vezes banhadas a ouro para aumentar sua beleza e valor. Considere um quarto de dólar comemorativo, anunciado para venda por . Ele tem diâmetro de e espessura de e está totalmente coberto por uma camada de ouro puro de de espessura. O volume da cobertura é igual à espessura da camada multiplicada pela área à qual ela é aplicada. Os padrões nas faces da moeda e as ranhuras em sua borda têm um efeito desprezível nessa área. Suponha que o preço do ouro seja por grama. (a) Encontre o custo do ouro adicionado à moeda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma moeda comemorativa com algumas medidas específicas e uma camada de ouro adicionada a ela. Precisamos descobrir quanto custa esse ouro que foi colocado na moeda. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria para calcular a área da moeda, multiplicar pela espessura da camada de ouro para achar o volume, e depois converter esse volume em massa usando a densidade do ouro. Por fim, multiplicamos pela preço do ouro por grama para encontrar o custo total.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da moeda. Como a moeda é circular, a área dela é dada pela fórmula da área do círculo:
Aqui, é o raio da moeda. Sabemos que o diâmetro da moeda é mm, então o raio é metade disso:

Passo 3

Agora que temos o raio, vamos calcular a área:

Passo 4

Com a área da moeda, podemos encontrar o volume da camada de ouro. O volume é dado pela espessura da camada multiplicada pela área :
A espessura da camada é . Vamos converter isso para milímetros para manter as unidades consistentes:
Então,

Passo 5

Agora, precisamos converter o volume de ouro para massa. Para isso, usamos a densidade do ouro, que é aproximadamente . Primeiro, convertemos o volume de para :
Agora, multiplicamos pelo valor da densidade:

Passo 6

Por fim, para encontrar o custo do ouro adicionado, multiplicamos a massa pelo preço por grama:
ç

Resposta

O custo do ouro adicionado à moeda é aproximadamente $0,04.

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