Moedas de coleção são às vezes banhadas a ouro para aumentar sua beleza e valor. Considere um quarto de dólar comemorativo, anunciado para venda por
. Ele tem diâmetro de
e espessura de
e está totalmente coberto por uma camada de ouro puro de
de espessura. O volume da cobertura é igual à espessura da camada multiplicada pela área à qual ela é aplicada. Os padrões nas faces da moeda e as ranhuras em sua borda têm um efeito desprezível nessa área. Suponha que o preço do ouro seja
por grama. (a) Encontre o custo do ouro adicionado à moeda.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma moeda comemorativa com algumas medidas específicas e uma camada de ouro adicionada a ela. Precisamos descobrir quanto custa esse ouro que foi colocado na moeda. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria para calcular a área da moeda, multiplicar pela espessura da camada de ouro para achar o volume, e depois converter esse volume em massa usando a densidade do ouro. Por fim, multiplicamos pela preço do ouro por grama para encontrar o custo total.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da moeda. Como a moeda é circular, a área
dela é dada pela fórmula da área do círculo:
Aqui,
é o raio da moeda. Sabemos que o diâmetro da moeda é
mm, então o raio
é metade disso:
Passo 3
Agora que temos o raio, vamos calcular a área:
Passo 4
Com a área da moeda, podemos encontrar o volume da camada de ouro. O volume
é dado pela espessura
da camada multiplicada pela área
:
A espessura da camada é
. Vamos converter isso para milímetros para manter as unidades consistentes:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos converter o volume de ouro para massa. Para isso, usamos a densidade do ouro, que é aproximadamente
. Primeiro, convertemos o volume de
para
:
Agora, multiplicamos pelo valor da densidade:
Passo 6
Por fim, para encontrar o custo do ouro adicionado, multiplicamos a massa pelo preço por grama:
Resposta
O custo do ouro adicionado à moeda é aproximadamente $0,04.