Um carrossel está estacionário. Um cachorro corre ao redor dele, no chão, logo ao lado de sua circunferência, movendo-se com velocidade angular constante de . O cachorro não muda seu ritmo quando vê o que estava procurando: um osso repousando na borda do carrossel um terço de uma revolução à sua frente. No instante em que o cachorro vê o osso ( ), o carrossel começa a se mover na mesma direção em que o cachorro está correndo, com uma aceleração angular constante de . (b) O cachorro confuso continua correndo e passa do osso. Quanto tempo depois de o carrossel começar a girar o cachorro e o osso estão na mesma posição pela segunda vez?

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um carrossel que está parado e um cachorro correndo ao redor dele com uma velocidade angular constante de . O cachorro vê um osso que está na borda do carrossel, um terço de uma revolução à frente. Quando o cachorro vê o osso (no tempo ), o carrossel começa a girar na mesma direção que o cachorro, mas agora com uma aceleração angular constante de . Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo após o carrossel começar a girar o cachorro e o osso estarão na mesma posição pela segunda vez.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de movimento angular, incluindo velocidade angular, aceleração angular e como calcular a posição angular ao longo do tempo. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos definir as posições angulares iniciais e como elas mudam com o tempo.
  • Posição inicial do cachorro ( ): Vamos considerar que, no instante , o cachorro está na posição angular radianos.
  • Posição inicial do osso ( ): O osso está um terço de uma revolução à frente do cachorro. Como uma revolução completa é radianos, um terço disso é . Então, no instante .

Passo 3

Agora, vamos expressar as posições angulares do cachorro e do osso em função do tempo .
  • Posição angular do cachorro ( ): Como o cachorro está se movendo com uma velocidade angular constante, sua posição angular ao longo do tempo é dada por:
    onde .
  • Posição angular do osso ( ): O osso está preso ao carrossel, que está acelerando angularmente. A posição angular do osso ao longo do tempo é:
    onde é a posição angular do carrossel, que pode ser encontrada usando a fórmula do movimento angular com aceleração constante:
    com .
Então,

Passo 4

Queremos encontrar o tempo quando o cachorro e o osso estarão na mesma posição novamente. Isso significa que:
onde é o número de voltas completas que o cachorro dá para alcançar a posição do osso novamente. Como estamos procurando a segunda vez que se encontram, vamos considerar (a primeira vez após ).
Substituindo as expressões:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática padrão :
Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver para :
onde:
Calculando o discriminante ( ):
Agora, calculamos :
Temos duas soluções:
Como estamos procurando a segunda vez que se encontram após , a solução válida é .

Resposta

O cachorro e o osso estarão novamente na mesma posição aproximadamente 87,2 segundos após o carrossel começar a girar.

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