Um carrossel está estacionário. Um cachorro corre ao redor dele, no chão, logo ao lado de sua circunferência, movendo-se com velocidade angular constante de
. O cachorro não muda seu ritmo quando vê o que estava procurando: um osso repousando na borda do carrossel um terço de uma revolução à sua frente. No instante em que o cachorro vê o osso (
), o carrossel começa a se mover na mesma direção em que o cachorro está correndo, com uma aceleração angular constante de
. (b) O cachorro confuso continua correndo e passa do osso. Quanto tempo depois de o carrossel começar a girar o cachorro e o osso estão na mesma posição pela segunda vez?
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um carrossel que está parado e um cachorro correndo ao redor dele com uma velocidade angular constante de
. O cachorro vê um osso que está na borda do carrossel, um terço de uma revolução à frente. Quando o cachorro vê o osso (no tempo
), o carrossel começa a girar na mesma direção que o cachorro, mas agora com uma aceleração angular constante de
. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo após o carrossel começar a girar o cachorro e o osso estarão na mesma posição pela segunda vez.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de movimento angular, incluindo velocidade angular, aceleração angular e como calcular a posição angular ao longo do tempo. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos definir as posições angulares iniciais e como elas mudam com o tempo.
-
Posição inicial do cachorro (
): Vamos considerar que, no instante , o cachorro está na posição angular radianos. -
Posição inicial do osso (
): O osso está um terço de uma revolução à frente do cachorro. Como uma revolução completa é radianos, um terço disso é . Então, no instante .
Passo 3
Agora, vamos expressar as posições angulares do cachorro e do osso em função do tempo
.
-
Posição angular do cachorro (
): Como o cachorro está se movendo com uma velocidade angular constante, sua posição angular ao longo do tempo é dada por: onde. -
Posição angular do osso (
): O osso está preso ao carrossel, que está acelerando angularmente. A posição angular do osso ao longo do tempo é: ondeé a posição angular do carrossel, que pode ser encontrada usando a fórmula do movimento angular com aceleração constante: com.
Então,
Passo 4
Queremos encontrar o tempo
quando o cachorro e o osso estarão na mesma posição novamente. Isso significa que:
onde
é o número de voltas completas que o cachorro dá para alcançar a posição do osso novamente. Como estamos procurando a segunda vez que se encontram, vamos considerar
(a primeira vez após
).
Substituindo as expressões:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática padrão
:
Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver para
:
onde:
Calculando o discriminante (
):
Agora, calculamos
:
Temos duas soluções:
Como estamos procurando a segunda vez que se encontram após
, a solução válida é
.
Resposta
O cachorro e o osso estarão novamente na mesma posição aproximadamente 87,2 segundos após o carrossel começar a girar.