Calcule o ângulo (no sentido da Equação A.28) entre os vetores e .
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o ângulo entre dois vetores complexos: e . Esse tipo de problema envolve conceitos de álgebra linear, especificamente o produto interno (ou produto escalar) entre vetores complexos e como isso se relaciona com o cálculo de ângulos entre eles. Para resolver, vamos precisar calcular o produto interno dos vetores e as normas de cada um.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto interno . Em espaços complexos, o produto interno é dado por:
Onde é o conjugado complexo de .
Para os nossos vetores:
então
então
então
Agora substituindo:
Vamos calcular cada termo separadamente:
(pois )
Somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular as normas de cada vetor, que são necessárias para encontrar o ângulo entre eles. A norma de um vetor é dada por:
Vamos calcular :
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Agora, vamos calcular :
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Passo 4
Com o produto interno e as normas calculadas, podemos encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores usando a fórmula:
Substituindo os valores:
No entanto, o cosseno do ângulo deve ser um número real. Para encontrar o ângulo, precisamos considerar apenas a parte real do produto interno dividido pelas normas:
Agora, para achar o ângulo , usamos a função arco cosseno:
Resposta
O ângulo entre os vetores e é aproximadamente .
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo Apêndice.2 - Ex. Problema A. 6