Prove a desigualdade de Schwarz (Equação A.27). Dica: seja , e utilize .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a desigualdade de Schwarz (Equação A.27). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear e Análise Vetorial. Para resolver, vamos precisar usar produtos internos e algumas propriedades básicas desses produtos. A dica já deu uma mãozinha sugerindo usar o vetor e a propriedade de que .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a desigualdade de Schwarz. Ela diz que, para quaisquer vetores e em um espaço vetorial com produto interno, vale:
Isso basicamente relaciona o produto interno dos vetores com os comprimentos (normas) dos próprios vetores.

Passo 3

A dica sugere que a gente considere um novo vetor definido por:
Vamos calcular o produto interno de consigo mesmo, ou seja, , e usar o fato de que isso é sempre maior ou igual a zero, já que o produto interno de um vetor com ele mesmo é a norma ao quadrado, que nunca é negativa.

Passo 4

Calculando :
Simplificando os termos.

Passo 5

Sabemos que , então:
Vamos rearranjar essa desigualdade para isolar :

Passo 6

E aí está! Chegamos na desigualdade de Schwarz:
Portanto, a prova está concluída.

Resposta

A desigualdade de Schwarz foi provada com sucesso:

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