Prove a desigualdade de Schwarz (Equação A.27). Dica: seja , e utilize .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a desigualdade de Schwarz (Equação A.27). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear e Análise Vetorial. Para resolver, vamos precisar usar produtos internos e algumas propriedades básicas desses produtos. A dica já deu uma mãozinha sugerindo usar o vetor e a propriedade de que .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a desigualdade de Schwarz. Ela diz que, para quaisquer vetores e em um espaço vetorial com produto interno, vale:
Isso basicamente relaciona o produto interno dos vetores com os comprimentos (normas) dos próprios vetores.
Passo 3
A dica sugere que a gente considere um novo vetor definido por:
Vamos calcular o produto interno de consigo mesmo, ou seja, , e usar o fato de que isso é sempre maior ou igual a zero, já que o produto interno de um vetor com ele mesmo é a norma ao quadrado, que nunca é negativa.
Passo 4
Calculando :
Simplificando os termos.
Passo 5
Sabemos que , então:
Vamos rearranjar essa desigualdade para isolar :
Passo 6
E aí está! Chegamos na desigualdade de Schwarz:
Portanto, a prova está concluída.
Resposta
A desigualdade de Schwarz foi provada com sucesso:
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo Apêndice.2 - Ex. Problema A. 5