Suponha que você inicie com uma base que não seja ortonormal. O procedimento Gram-Schmidt é um ritual sistemático que gera a partir dele uma base ortonormal . Funciona assim:
(i) Normalize o primeiro vetor base (divida por sua norma):
(ii) Calcule a projeção do segundo vetor junto ao primeiro e subtraia:
Esse vetor é ortogonal a ; normalize para obter .
(iii) Subtraia de suas projeções junto a e :
Isso é ortogonal a e ; normalize-o para obter . E assim por diante.
Utilize o procedimento Gram-Schmidt para ortonormalizar o espaço de base (1) .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos três vetores base que não são ortonormais, ou seja, eles não têm comprimento 1 e não são perpendiculares entre si. A gente vai usar o método de Gram-Schmidt para transformar esses vetores em uma base ortonormal, onde todos os vetores têm comprimento 1 e são perpendiculares uns aos outros.
Para isso, vamos precisar:
Normalização dos vetores (ajustar o comprimento para 1).
Projeção de vetores (encontrar a parte de um vetor que está na direção de outro).
Subtração de vetores (para torná-los perpendiculares).
Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar o primeiro vetor . Normalizar significa dividir o vetor pelo seu comprimento (norma), assim ele vai ter comprimento 1.
O vetor é:
A norma de é:
Então, o vetor normalizado é:
Passo 3
Agora, vamos ajustar o segundo vetor para que ele seja perpendicular ao . Para isso, calculamos a projeção de em e subtraímos essa projeção de .
O vetor é:
A projeção é:
Primeiro, calculamos o produto interno :
Então:
Agora, subtraímos essa projeção de :
Passo 4
Agora, vamos normalizar para obter .
Calculando a norma de :
Então:
Passo 5
Vamos agora ajustar o terceiro vetor para que ele seja perpendicular tanto a quanto a .
O vetor é:
Primeiro, subtraímos as projeções em e :
Calculando :
Calculando :
Agora, substituindo:
Realizando as operações:
Simplificando:
Simplificando mais:
Passo 6
Por fim, vamos normalizar para obter .
Calculando a norma de :
Então:
Resposta
A base ortonormal resultante pelo procedimento de Gram-Schmidt é:
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo Apêndice.2 - Ex. Problema A. 4