15.8 Calcule a força e o torque que agem sobre uma espira quadrada de lado \ell pela qual circula uma corrente i. A espira está situada no plano
x y, e o campo magnético é homogêneo e está orientado na direção z.

Passo 1

O enunciado pede a força total e o torque total sobre uma espira quadrada de lado \ell que transporta corrente i, situada no plano xy, imersa num campo magnético uniforme \mathbf{B}=B\,\hat{z}. Para isso vamos usar:
– A lei de Laplace para força num elemento de fio:
d\mathbf{F}=i\,d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B}.
– A expressão do momento magnético de uma espira plana e o torque resultante:
\boldsymbol{\mu}=iA\,\hat{n}, \quad \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\mathbf{B}.

Passo 2

Cada lado da espira é um fio retilíneo de comprimento \ell no plano xy. Para qualquer um desses lados, a força vem de
\mathbf{F}=i\,\mathbf{L}\times\mathbf{B},
onde \mathbf{L} tem módulo \ell e direção ao longo do fio. Como \mathbf{B}=B\,\hat{z}, o produto vetorial sempre dá uma força de módulo
F = i\,\ell\,B,
apontando num eixo que fica no plano xy e é perpendicular ao próprio lado.

Passo 3

As forças sobre lados opostos são de mesmo módulo i\ell B e sentidos opostos (pois os correntes nesses lados têm direções contrárias). Logo, somando as quatro forças:
\mathbf{F}_{\text{total}}=\sum_{k=1}^{4}\mathbf{F}_{k}=\mathbf{0}.

Passo 4

O momento magnético da espira vale
\boldsymbol{\mu}=i\,A\,\hat{n} \quad\text{com}\quad A=\ell^{2},\;\hat{n}=\hat{z}
(se aplicamos a regra da mão direita ao contorno da espira, o vetor normal está em \hat{z}).

Passo 5

O torque magnético total é
\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\mathbf{B} =i\,\ell^{2}\,\hat{z}\times\bigl(B\,\hat{z}\bigr) =\mathbf{0},
pois \hat{z}\times\hat{z}=\mathbf{0}.

Resposta

Força total \mathbf{F}_{\text{total}}=\mathbf{0}.
Torque total \boldsymbol{\tau}=\mathbf{0}.

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