4.16 Calcule a inclinação da linha de transição sólido-líquido para água perto do ponto triplo T=273,16 \mathrm{~K}, dado que o calor latente da fusão é de 80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}, a densidade da fase líquida é de 1,00 \mathrm{~g} / \mathrm{cm} 3, e a densidade da fase de gelo é de 0,92 \mathrm{~g} / \mathrm{cm} 3. Estime a temperatura de fusão em P=100 atm.

Passo 1

O enunciado pede a inclinação da linha de transição sólido-líquido para água perto do ponto triplo ( T=273,16\\ \mathrm K) e, em seguida, a temperatura de fusão quando a pressão sobe para 100 atm. O conteúdo principal é a equação de Clapeyron,
\frac{dP}{dT}=\frac{L}{T\,\Delta v},
onde L é o calor latente por unidade de massa, T a temperatura absoluta e \Delta v=v_{\ell}-v_{s} a variação de volume específico ao fundir.

Passo 2

Primeiro convertemos o calor latente de fusão dado por 80\\ \mathrm{cal/g} para unidades SI:
1\\ \text{cal}=4{,}184\\ \mathrm J \quad\Longrightarrow\quad L=80\\ \frac{\text{cal}}{\text g}\times4{,}184\\ \frac{\mathrm J}{\text{cal}} =334{,}72\\ \frac{\mathrm J}{\text g} =334{,}72\times10^{3}\\ \frac{\mathrm J}{\mathrm{kg}}.

Passo 3

As densidades são \rho_{\ell}=1{,}00\\ \mathrm{g/cm^{3}} e \rho_{s}=0{,}92\\ \mathrm{g/cm^{3}}. Em SI:
\rho_{\ell}=1000\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm m^{3}}, \quad \rho_{s}=920\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm m^{3}}.
Logo, os volumes específicos (volume por massa) são
v_{\ell}=\frac{1}{\rho_{\ell}}=1{,}00\times10^{-3}\\ \frac{\mathrm m^{3}}{\mathrm{kg}}, \quad v_{s}=\frac{1}{\rho_{s}}\approx1{,}087\times10^{-3}\\ \frac{\mathrm m^{3}}{\mathrm{kg}}.

Passo 4

Calculamos a variação de volume específico ao fundir:
\Delta v = v_{\ell}-v_{s} =1{,}00\times10^{-3}-1{,}087\times10^{-3} =-0{,}087\times10^{-3}\\ \frac{\mathrm m^{3}}{\mathrm{kg}} =-8{,}7\times10^{-5}\\ \frac{\mathrm m^{3}}{\mathrm{kg}}.

Passo 5

Aplicando a equação de Clapeyron em \,T=273{,}16\\ \mathrm K,
\frac{dP}{dT} =\frac{L}{T\,\Delta v} =\frac{334{,}72\times10^{3}}{273{,}16\times(-8{,}7\times10^{-5})} \\ \frac{\mathrm{Pa}}{\mathrm K} \approx -1{,}41\times10^{7}\\ \frac{\mathrm{Pa}}{\mathrm K}.

Passo 6

Em unidades de atmosfera por kelvin usamos 1\\ \mathrm{atm}=1,013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}:
\frac{dP}{dT}\approx -\frac{1{,}41\times10^{7}}{1{,}013\times10^{5}} \\ \frac{\text{atm}}{\mathrm K} \approx -139\\ \frac{\text{atm}}{\mathrm K}.

Passo 7

Para estimar a nova temperatura de fusão a P=100 atm, tomamos \Delta P=100 atm acima de P_{\text{triplo}} e usamos
\Delta T =\frac{\Delta P}{(dP/dT)} =\frac{100}{-139}\\ \mathrm K \approx -0{,}72\\ \mathrm K.
Assim,
T_{\text{fus}}=273{,}16\\ \mathrm K-0{,}72\\ \mathrm K \approx272{,}44\\ \mathrm K.

Resposta

Inclinação da curva sólido-líquido:
\frac{dP}{dT}\approx -1{,}41\times10^{7}\\ \frac{\mathrm{Pa}}{\mathrm K} \quad\bigl(\approx -139\\ \tfrac{\text{atm}}{\mathrm K}\bigr).
Temperatura de fusão a 100 atm:
T_{\text{fus}}\approx272{,}44\\ \mathrm K.

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