Calcule o porcentual de erro na aproximação de Stirling para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o porcentual de erro na aproximação de Stirling para
. Para isso, vamos precisar entender o que é a aproximação de Stirling e como calcular o erro percentual entre o valor exato e a aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Fórmula de Stirling é uma maneira de aproximar o fatorial de um número grande. A fórmula é:
Onde:
-
é o fatorial de n, -
é aproximadamente 3,1416, -
é aproximadamente 2,7183.
Passo 3
Vamos calcular o fatorial exato de
:
Passo 4
Agora, aplicamos a Fórmula de Stirling para aproximar
:
Vamos calcular cada parte:
- Cálculo de
:
- Cálculo de
:
Multiplicando as duas partes:
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro absoluto entre o valor exato e a aproximação de Stirling:
Passo 6
Para encontrar o erro percentual, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
O porcentual de erro na aproximação de Stirling para
é aproximadamente 1,376%.