Calcule o porcentual de erro na aproximação de Stirling para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o porcentual de erro na aproximação de Stirling para . Para isso, vamos precisar entender o que é a aproximação de Stirling e como calcular o erro percentual entre o valor exato e a aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Fórmula de Stirling é uma maneira de aproximar o fatorial de um número grande. A fórmula é:
Onde:
  • é o fatorial de n,
  • é aproximadamente 3,1416,
  • é aproximadamente 2,7183.

Passo 3

Vamos calcular o fatorial exato de :

Passo 4

Agora, aplicamos a Fórmula de Stirling para aproximar :
Vamos calcular cada parte:
  1. Cálculo de :
  1. Cálculo de :
Multiplicando as duas partes:

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro absoluto entre o valor exato e a aproximação de Stirling:
çã

Passo 6

Para encontrar o erro percentual, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:

Resposta

O porcentual de erro na aproximação de Stirling para é aproximadamente 1,376%.

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