(a) Utilize a Equação 5.113 para determinar a densidade de energia no intervalo de comprimento de onda . Dica; seja , e resolva para .
Passo 1
E aí! Vamos resolver o exercício que pede para determinar a densidade de energia no intervalo de comprimento de onda usando a Equação 5.113. Pelo enunciado, estamos lidando com a relação entre a densidade de energia por frequência e por comprimento de onda . Para isso, vamos precisar entender como converter de uma variável para outra usando cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a densidade de energia por frequência e por comprimento de onda. A dica do exercício nos diz que:
Isso significa que a energia contida em um intervalo de frequência é igual à energia contida em um intervalo de comprimento de onda . Nosso objetivo é encontrar , então precisamos expressar em termos de .
Passo 3
Para fazer essa conversão, precisamos relacionar e . Sabemos que a frequência angular está relacionada à velocidade da luz e ao comprimento de onda pela fórmula:
Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
O sinal negativo indica que diminui conforme aumenta, mas como estamos interessados apenas nos valores absolutos para a densidade de energia, podemos considerar:
Passo 4
Agora, podemos rearranjar a equação inicial para encontrar :
Substituindo o valor de , temos:
Passo 5
Finalmente, substituímos em termos de na função . Se tivermos uma expressão para da Equação 5.113, simplesmente substituímos . Assim, a densidade de energia por comprimento de onda é dada por:
Resposta
A densidade de energia no intervalo de comprimento de onda é:
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 5.4 - Ex. Problema 5.30a