Suponha que você tivesse três partículas (não interativas), em equilíbrio térmico, em um potencial do oscilador harmônico unidimensional, com a energia total . © Faça o mesmo para o caso dos bósons idênticos (ignorando o spin).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente pensar em três bósons idênticos (sem considerar o spin) que estão num potencial de oscilador harmônico unidimensional. A energia total do sistema é . Nosso objetivo aqui é descobrir de quantas maneiras essas partículas podem distribuir essa energia total nos diferentes níveis de energia do oscilador harmônico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a energia do oscilador harmônico. Cada nível de energia é dado por:
onde .
Como estamos lidando com bósons, que são partículas indistinguíveis e que podem ocupar o mesmo estado, a contagem das distribuições vai ser diferente da dos partículas distinguíveis.

Passo 3

Precisamos distribuir a energia total entre os três bósons. Vamos definir , onde é a energia da i-ésima partícula. Substituindo:
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar todas as combinações de que somem 3, considerando que os bósons são indistinguíveis. Ou seja, a ordem não importa, apenas os conjuntos de números.
Vamos listar todas as possíveis combinações não ordenadas:

Passo 5

Cada uma dessas combinações representa uma distribuição distinta da energia:
  1. : Um bóson no nível e os outros dois no nível .
  2. : Um bóson no nível , um no e um no .
  3. : Todos os três bósons no nível .

Passo 6

Portanto, existem 3 maneiras distintas de distribuir a energia total entre os três bósons idênticos no potencial do oscilador harmônico unidimensional.

Resposta

Para três bósons idênticos, há 3 maneiras distintas de distribuir a energia total no oscilador harmônico unidimensional.

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