Suponha que você tivesse três partículas (não interativas), em equilíbrio térmico, em um potencial do oscilador harmônico unidimensional, com a energia total
. © Faça o mesmo para o caso dos bósons idênticos (ignorando o spin).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente pensar em três bósons idênticos (sem considerar o spin) que estão num potencial de oscilador harmônico unidimensional. A energia total do sistema é
. Nosso objetivo aqui é descobrir de quantas maneiras essas partículas podem distribuir essa energia total nos diferentes níveis de energia do oscilador harmônico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a energia do oscilador harmônico. Cada nível de energia é dado por:
onde
.
Como estamos lidando com bósons, que são partículas indistinguíveis e que podem ocupar o mesmo estado, a contagem das distribuições vai ser diferente da dos partículas distinguíveis.
Passo 3
Precisamos distribuir a energia total
entre os três bósons. Vamos definir
, onde
é a energia da i-ésima partícula. Substituindo:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar todas as combinações de
que somem 3, considerando que os bósons são indistinguíveis. Ou seja, a ordem não importa, apenas os conjuntos de números.
Vamos listar todas as possíveis combinações não ordenadas:
Passo 5
Cada uma dessas combinações representa uma distribuição distinta da energia:
-
: Um bóson no nível e os outros dois no nível . -
: Um bóson no nível , um no e um no . -
: Todos os três bósons no nível .
Passo 6
Portanto, existem 3 maneiras distintas de distribuir a energia total
entre os três bósons idênticos no potencial do oscilador harmônico unidimensional.
Resposta
Para três bósons idênticos, há 3 maneiras distintas de distribuir a energia total
no oscilador harmônico unidimensional.