Um cilindro infinito é percorrido por uma corrente I. Calcule ofluxo do vetor de Poynting
através de sua superfície lateral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro infinito por onde passa uma corrente elétrica
. A pergunta é: qual é o fluxo do vetor de Poynting
através da superfície lateral desse cilindro?
Aqui, a gente vai trabalhar com eletromagnetismo, especificamente com o conceito de vetor de Poynting, que nos ajuda a entender o fluxo de energia eletromagnética. Para resolver isso, vamos precisar das expressões para os campos elétrico
e magnético
, além de aplicar a fórmula do vetor de Poynting.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é definido o vetor de Poynting:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo. O vetor de Poynting
representa a densidade de fluxo de energia eletromagnética.
No caso do cilindro infinito com corrente
, vamos supor que a corrente está distribuída uniformemente pela seção transversal do cilindro de raio
. Isso significa que o campo magnético
ao redor do cilindro pode ser encontrado usando a Lei de Ampère.
Passo 3
Vamos calcular o campo magnético
fora do cilindro. Pela Lei de Ampère:
Para um cilindro infinito, assumindo simetria cilíndrica,
é tangencial e depende apenas da distância
ao eixo. A integral ao redor de um círculo de raio
é:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos determinar o campo elétrico
. Em regime estacionário, com corrente contínua, não há variação de carga acumulada, então
está relacionado à resistência do material que carrega a corrente.
Para simplificar, vamos assumir que há um campo elétrico radial
que direciona a corrente pelo cilindro. Então, fora do cilindro (na superfície lateral), o campo elétrico pode ser considerado nulo, pois toda a corrente está confinada dentro do cilindro.
Porém, na superfície lateral, para calcular o fluxo do vetor de Poynting, consideramos o limite onde
tangencia a superfície.
Passo 5
Agora, vamos calcular o vetor de Poynting
na superfície lateral do cilindro. Sabemos que:
Aqui,
é radial e
é tangencial, então o produto vetorial
resulta em um vetor na direção axial (paralelo ao eixo do cilindro), indicando o fluxo de energia ao longo do cilindro.
Passo 6
Para encontrar o fluxo de
através da superfície lateral, usamos a definição de fluxo:
Como
é paralelo à direção do eixo e
na superfície lateral também é paralelo ao eixo, o produto escalar simplifica para:
A área lateral do cilindro infinito é:
Onde
é o comprimento do cilindro, que tende ao infinito, mas como buscamos o fluxo por unidade de comprimento, podemos considerar
.
Passo 7
Substituindo
e
na expressão do fluxo:
Se considerarmos que o campo elétrico
está relacionado à potência fornecida para manter a corrente, podemos concluir que o fluxo do vetor de Poynting através da superfície lateral do cilindro infinito �� igual à potência associada à corrente
.
Resposta
O fluxo do vetor de Poynting
através da superfície lateral do cilindro infinito é igual a
, onde
é o campo elétrico radial que mantém a corrente
. Portanto,