Um cilindro infinito é percorrido por uma corrente I. Calcule ofluxo do vetor de Poynting através de sua superfície lateral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro infinito por onde passa uma corrente elétrica . A pergunta é: qual é o fluxo do vetor de Poynting através da superfície lateral desse cilindro?
Aqui, a gente vai trabalhar com eletromagnetismo, especificamente com o conceito de vetor de Poynting, que nos ajuda a entender o fluxo de energia eletromagnética. Para resolver isso, vamos precisar das expressões para os campos elétrico e magnético , além de aplicar a fórmula do vetor de Poynting.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é definido o vetor de Poynting:
Aqui, é a permeabilidade do vácuo. O vetor de Poynting representa a densidade de fluxo de energia eletromagnética.
No caso do cilindro infinito com corrente , vamos supor que a corrente está distribuída uniformemente pela seção transversal do cilindro de raio . Isso significa que o campo magnético ao redor do cilindro pode ser encontrado usando a Lei de Ampère.

Passo 3

Vamos calcular o campo magnético fora do cilindro. Pela Lei de Ampère:
Para um cilindro infinito, assumindo simetria cilíndrica, é tangencial e depende apenas da distância ao eixo. A integral ao redor de um círculo de raio é:
Então,

Passo 4

Agora, precisamos determinar o campo elétrico . Em regime estacionário, com corrente contínua, não há variação de carga acumulada, então está relacionado à resistência do material que carrega a corrente.
Para simplificar, vamos assumir que há um campo elétrico radial que direciona a corrente pelo cilindro. Então, fora do cilindro (na superfície lateral), o campo elétrico pode ser considerado nulo, pois toda a corrente está confinada dentro do cilindro.
Porém, na superfície lateral, para calcular o fluxo do vetor de Poynting, consideramos o limite onde tangencia a superfície.

Passo 5

Agora, vamos calcular o vetor de Poynting na superfície lateral do cilindro. Sabemos que:
Aqui, é radial e é tangencial, então o produto vetorial resulta em um vetor na direção axial (paralelo ao eixo do cilindro), indicando o fluxo de energia ao longo do cilindro.

Passo 6

Para encontrar o fluxo de através da superfície lateral, usamos a definição de fluxo:
Como é paralelo à direção do eixo e na superfície lateral também é paralelo ao eixo, o produto escalar simplifica para:
A área lateral do cilindro infinito é:
Onde é o comprimento do cilindro, que tende ao infinito, mas como buscamos o fluxo por unidade de comprimento, podemos considerar .

Passo 7

Substituindo e na expressão do fluxo:
Se considerarmos que o campo elétrico está relacionado à potência fornecida para manter a corrente, podemos concluir que o fluxo do vetor de Poynting através da superfície lateral do cilindro infinito �� igual à potência associada à corrente .

Resposta

O fluxo do vetor de Poynting através da superfície lateral do cilindro infinito é igual a , onde é o campo elétrico radial que mantém a corrente . Portanto,

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