Partindo-se da expressão , demonstre que:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem a expressão , que representa a mutualidade de indução entre duas bobinas, onde é a inductância mútua, é o fluxo magnético ligado à segunda bobina devido à corrente na primeira bobina. O objetivo é mostrar que essa relação pode ser expressa usando integrais de linha envolvendo as duas bobinas e a constante magnética . Para resolver isso, vamos precisar entender como o fluxo magnético e o campo magnético estão relacionados, além de usar a lei de Biot-Savart.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fluxo magnético é dado pela integral do campo magnético produzido pela primeira bobina, atravessando a área da segunda bobina:
Aqui, é o contorno da segunda bobina e é um elemento de área dela. Mas para facilitar, vamos usar a relação entre o campo magnético e a corrente, que é fornecida pela Lei de Biot-Savart.

Passo 3

A Lei de Biot-Savart nos diz que o campo magn��tico produzido por uma corrente na primeira bobina é:
Onde:
  • é a constante magnética.
  • é o contorno da primeira bobina.
  • é um elemento de comprimento na primeira bobina.
  • e são as posições nos contornos das bobinas.

Passo 4

Agora, vamos substituir na expressão do fluxo magnético :
Note que pode ser relacionado ao elemento de comprimento usando a relação , onde é uma direção perpendicular à superfície.

Passo 5

Simplificando, percebemos que o produto escalar envolve um termo de cruzamento, que se reduz a:
Isso porque o produto cruzado e o produto escalar acabam se combinando para simplificar a expressão envolvendo os elementos de comprimento das duas bobinas.

Passo 6

Agora, lembrando que , substituímos a expressão de que acabamos de encontrar:

Resposta

Portanto, demonstramos que:

Exercícios de Livros Relacionados