Definindo-se o vetor de Hertz
por intermédio das expressões:
onde
e
, representam, respectivamente, os potenciais elétrico e vetor, demonstre que em um certo meio onde não existem fontes (
) e
e a polarização vale
, o vetor
satisfaz as seguintes expressões:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Estamos trabalhando com o vetor de Hertz, denotado por
, que está relacionado aos potenciais elétrico (
) e vetor (
). A matéria envolve conceitos de eletromagnetismo, especificamente as equações de Maxwell em um meio com polarização
. Precisamos demonstrar que, nesse meio sem fontes (
,
) e com permeabilidade magnética
, o vetor
satisfaz certas equações envolvendo o potencial elétrico, vetor potencial, campo elétrico
e campo magnético
. Vamos precisar usar identidades vetoriais, relações entre os potenciais e os campos, e considerar a polarização do meio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as relações entre os potenciais e os campos elétrico e magnético. Sabemos que:
Agora, substituímos as expressões dadas na questão para
:
Substituindo isso na expressão para
:
Passo 3
Também sabemos que o potencial vetor
está relacionado ao vetor de Hertz
. Vamos usar a equação fornecida:
Isso nos dá uma relação direta entre o divergente de
e o potencial elétrico
.
Passo 4
Vamos agora considerar as equações de Maxwell no meio dado. Com
e
, temos as seguintes equações:
Mas como
e
, vamos focar principalmente nas relações que envolvem
e
.
Passo 5
Agora, substituímos a expressão de
em termos de
:
Sabendo que
, podemos reescrever:
Essa é uma das equações que precisamos demonstrar.
Passo 6
Vamos agora trabalhar com a equação de
que obtivemos:
Usamos a relação
.
Passo 7
Agora, utilizamos a identidade vetorial:
Substituindo
:
Portanto,
Passo 8
Sabendo que no meio temos polarização
, a relação entre o campo elétrico e a polarização é:
Como não há fontes (
), temos
:
Substituindo na expressão para
que obtivemos anteriormente:
Igualando as duas expressões para
e isolando os termos com
:
Passo 9
Finalmente, coletando todas as equações que obtivemos, temos:
Resposta
Assim, demonstramos que no meio considerado, o vetor de Hertz
satisfaz as seguintes expressões: