Definindo-se o vetor de Hertz por intermédio das expressões:
onde e , representam, respectivamente, os potenciais elétrico e vetor, demonstre que em um certo meio onde não existem fontes ( ) e e a polarização vale , o vetor satisfaz as seguintes expressões:

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Estamos trabalhando com o vetor de Hertz, denotado por , que está relacionado aos potenciais elétrico ( ) e vetor ( ). A matéria envolve conceitos de eletromagnetismo, especificamente as equações de Maxwell em um meio com polarização . Precisamos demonstrar que, nesse meio sem fontes ( , ) e com permeabilidade magnética , o vetor satisfaz certas equações envolvendo o potencial elétrico, vetor potencial, campo elétrico e campo magnético . Vamos precisar usar identidades vetoriais, relações entre os potenciais e os campos, e considerar a polarização do meio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as relações entre os potenciais e os campos elétrico e magnético. Sabemos que:
Agora, substituímos as expressões dadas na questão para :
Substituindo isso na expressão para :

Passo 3

Também sabemos que o potencial vetor está relacionado ao vetor de Hertz . Vamos usar a equação fornecida:
Isso nos dá uma relação direta entre o divergente de e o potencial elétrico .

Passo 4

Vamos agora considerar as equações de Maxwell no meio dado. Com e , temos as seguintes equações:
Mas como e , vamos focar principalmente nas relações que envolvem e .

Passo 5

Agora, substituímos a expressão de em termos de :
Sabendo que , podemos reescrever:
Essa é uma das equações que precisamos demonstrar.

Passo 6

Vamos agora trabalhar com a equação de que obtivemos:
Usamos a relação .

Passo 7

Agora, utilizamos a identidade vetorial:
Substituindo :
Portanto,

Passo 8

Sabendo que no meio temos polarização , a relação entre o campo elétrico e a polarização é:
Como não há fontes ( ), temos :
Substituindo na expressão para que obtivemos anteriormente:
Igualando as duas expressões para e isolando os termos com :

Passo 9

Finalmente, coletando todas as equações que obtivemos, temos:

Resposta

Assim, demonstramos que no meio considerado, o vetor de Hertz satisfaz as seguintes expressões:

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