Definindo-se o momento angular do campo eletromagnético pela expressão:
demonstre o teorema da conservação do momento angular para o campo eletromagnético:
onde:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa demonstrar o teorema da conservação do momento angular para o campo eletromagnético. Isso envolve entender como o momento angular mecânico e o momento angular do campo eletromagnético se comportam ao longo do tempo dentro de um volume . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo eletromagnético, momento angular e leis de conservação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento angular no contexto mecânico e eletromagnético. O momento angular mecânico de uma partícula é dado por:
onde é o vetor posição e é o momento linear mecânico.
Já o momento angular do campo eletromagnético é definido como:
onde é o vetor de momento do campo eletromagnético.

Passo 3

O teorema da conservação do momento angular basicamente diz que, se não há torque externo agindo sobre um sistema, o momento angular total do sistema permanece constante no tempo. No nosso caso, o sistema é composto pelo momento angular mecânico e pelo momento angular do campo eletromagnético.
Matematicamente, queremos mostrar que:

Passo 4

Vamos começar calculando a derivada temporal do momento angular total dentro do volume :

Passo 5

Agora, vamos avaliar cada termo separadamente. Para o momento angular mecânico:
Assumindo que a posição não muda com o tempo dentro do volume considerado, podemos simplificar para:

Passo 6

Para o momento angular eletromagnético:
Analogamente, se é constante no tempo, temos:

Passo 7

Agora, somando os dois termos:
Podemos fatorar :

Passo 8

Agora, precisamos relacionar e com as forças e torques presentes no sistema. De acordo com as leis de Maxwell e a definição de , podemos estabelecer que:
ç
Isso leva à relação de que a variação temporal do momento angular total é igual ao torque externo aplicado ao sistema.

Passo 9

Aplicando o teorema de Gauss para converter o volume integral em uma integral de superfície, obtemos:
onde representa o momento de força devido ao campo eletromagnético atravessando a superfície .

Resposta

Assim, demonstramos que a derivada temporal do momento angular total (mecânico mais eletromagnético) dentro do volume é igual ao torque externo passado através da superfície . Portanto, o teorema da conservação do momento angular para o campo eletromagnético é validado:

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