Como citado na Exemplo Conceitual 10.9, chaminés em queda frequentemente se quebram ao meio porque a argamassa entre os tijolos não aguenta muita tensão de cisalhamento. Conforme a chaminé começa a cair, forças de cisalhamento devem atuar nas seções mais altas para acelerá-las tangencialmente de modo que possam manter a rotação da parte mais baixa da pilha. Para simplificar, vamos modelar a chaminé como uma barra uniforme de comprimento
centrada na extremidade mais baixa. A barra começa do repouso em uma posição vertical (com o pino sem atrito na parte de baixo) e cai sob a influência da gravidade. Que fração do comprimento da barra tem aceleração tangencial maior que
, onde
é o ângulo que a chaminé faz com o eixo vertical?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma chaminé modelada como uma barra uniforme de comprimento
, que está presa na parte de baixo e começa a cair a partir da posição vertical. A gente quer descobrir qual fração do comprimento da barra tem uma aceleração tangencial maior que
, onde
é o ângulo que a chaminé faz com a vertical. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de rotação e física básica de movimento rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na aceleração tangencial. Quando a barra está girando, cada ponto dela tem uma aceleração tangencial que depende da aceleração angular
e da distância
desse ponto ao pivô. A fórmula é:
Aqui,
é a aceleração tangencial,
é a distância do ponto ao eixo de rotação, e
é a aceleração angular da barra.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração angular
. Para isso, precisamos calcular o torque (
) que a gravidade exerce na barra e relacioná-lo com o momento de inércia (
) da barra:
O torque devido à gravidade é:
E o momento de inércia para uma barra uniforme pivotada em uma extremidade é:
Passo 4
Substituindo o torque e o momento de inércia na equação do torque, temos:
Podemos simplificar essa equação dividindo os dois lados por
:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora que temos
, vamos voltar à fórmula da aceleração tangencial:
Queremos que
, então:
Podemos dividir ambos os lados por
(que são positivos) e simplificar:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A fração do comprimento da barra que tem aceleração tangencial maior que
é
, ou seja,
.