Como citado na Exemplo Conceitual 10.9, chaminés em queda frequentemente se quebram ao meio porque a argamassa entre os tijolos não aguenta muita tensão de cisalhamento. Conforme a chaminé começa a cair, forças de cisalhamento devem atuar nas seções mais altas para acelerá-las tangencialmente de modo que possam manter a rotação da parte mais baixa da pilha. Para simplificar, vamos modelar a chaminé como uma barra uniforme de comprimento centrada na extremidade mais baixa. A barra começa do repouso em uma posição vertical (com o pino sem atrito na parte de baixo) e cai sob a influência da gravidade. Que fração do comprimento da barra tem aceleração tangencial maior que , onde é o ângulo que a chaminé faz com o eixo vertical?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma chaminé modelada como uma barra uniforme de comprimento , que está presa na parte de baixo e começa a cair a partir da posição vertical. A gente quer descobrir qual fração do comprimento da barra tem uma aceleração tangencial maior que , onde é o ângulo que a chaminé faz com a vertical. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de rotação e física básica de movimento rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na aceleração tangencial. Quando a barra está girando, cada ponto dela tem uma aceleração tangencial que depende da aceleração angular e da distância desse ponto ao pivô. A fórmula é:
Aqui, é a aceleração tangencial, é a distância do ponto ao eixo de rotação, e é a aceleração angular da barra.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração angular . Para isso, precisamos calcular o torque ( ) que a gravidade exerce na barra e relacioná-lo com o momento de inércia ( ) da barra:
O torque devido à gravidade é:
E o momento de inércia para uma barra uniforme pivotada em uma extremidade é:

Passo 4

Substituindo o torque e o momento de inércia na equação do torque, temos:
Podemos simplificar essa equação dividindo os dois lados por :
Resolvendo para :

Passo 5

Agora que temos , vamos voltar à fórmula da aceleração tangencial:
Queremos que , então:
Podemos dividir ambos os lados por (que são positivos) e simplificar:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A fração do comprimento da barra que tem aceleração tangencial maior que é , ou seja, .

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