Considere um corpo A de pequena massa caindo sobre um corpo de grande massa, partindo do repouso no infinito. Mostre que, em qualquer ponto durante a queda, o corpo A terá exatamente a velocidade de escape a partir de tal ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem um corpo A, que é bem leve, caindo em direção a um corpo bem maior, tipo um planeta, por exemplo. Esse corpo A começa a cair do descanso lá no infinito, ou seja, bem longe. A tarefa é mostrar que, em qualquer ponto da queda, a velocidade do corpo A é exatamente a velocidade de escape daquele ponto.
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouquinho de física clássica, especificamente a lei da conservação da energia e a fórmula da velocidade de escape. Não se preocupa se não estiver familiarizado com tudo isso, vou explicar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na energia total do sistema. Quando o corpo A está lá no infinito, a energia cinética dele é zero porque ele parte do repouso. A energia potencial gravitacional também é zero no infinito. Então, a energia total no infinito é zero.

Passo 3

Agora, conforme o corpo A começa a cair em direção ao corpo maior, ele ganha energia cinética porque está acelerando, e a energia potencial gravitacional negativa porque está se aproximando do corpo maior. A energia total continua valendo zero, já que não tem perda ou ganho externo de energia.

Passo 4

Vamos escrever isso matematicamente. A energia total no ponto qualquer durante a queda é a soma da energia cinética e da energia potencial :
Sabemos que no infinito , então:
Aqui, é a massa do corpo A, é a velocidade, é a constante gravitacional, é a massa do corpo maior, e é a distância entre os centros dos corpos.

Passo 5

Vamos rearranjar essa equação para encontrar a velocidade :
Dividindo ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 6

Agora, lembramos que a velocidade de escape é a velocidade mínima necessária para escapar da atração gravitacional de um corpo sem mais aceleração. A fórmula da velocidade de escape é:

Passo 7

Comparando as duas equações, vemos que , então:

Resposta

Assim, mostramos que em qualquer ponto durante a queda, o corpo A tem exatamente a velocidade de escape a partir desse ponto.

Exercícios de Livros Relacionados