Considere um corpo A de pequena massa caindo sobre um corpo de grande massa, partindo do repouso no infinito. Mostre que, em qualquer ponto durante a queda, o corpo A terá exatamente a velocidade de escape a partir de tal ponto.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem um corpo A, que é bem leve, caindo em direção a um corpo bem maior, tipo um planeta, por exemplo. Esse corpo A começa a cair do descanso lá no infinito, ou seja, bem longe. A tarefa é mostrar que, em qualquer ponto da queda, a velocidade do corpo A é exatamente a velocidade de escape daquele ponto.
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouquinho de física clássica, especificamente a lei da conservação da energia e a fórmula da velocidade de escape. Não se preocupa se não estiver familiarizado com tudo isso, vou explicar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na energia total do sistema. Quando o corpo A está lá no infinito, a energia cinética dele é zero porque ele parte do repouso. A energia potencial gravitacional também é zero no infinito. Então, a energia total no infinito é zero.
Passo 3
Agora, conforme o corpo A começa a cair em direção ao corpo maior, ele ganha energia cinética porque está acelerando, e a energia potencial gravitacional negativa porque está se aproximando do corpo maior. A energia total continua valendo zero, já que não tem perda ou ganho externo de energia.
Passo 4
Vamos escrever isso matematicamente. A energia total
no ponto qualquer durante a queda é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
Sabemos que no infinito
, então:
Aqui,
é a massa do corpo A,
é a velocidade,
é a constante gravitacional,
é a massa do corpo maior, e
é a distância entre os centros dos corpos.
Passo 5
Vamos rearranjar essa equação para encontrar a velocidade
:
Dividindo ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 6
Agora, lembramos que a velocidade de escape
é a velocidade mínima necessária para escapar da atração gravitacional de um corpo sem mais aceleração. A fórmula da velocidade de escape é:
Passo 7
Comparando as duas equações, vemos que
, então:
Resposta
Assim, mostramos que em qualquer ponto durante a queda, o corpo A tem exatamente a velocidade de escape a partir desse ponto.