Enunciado

11.17E Dois corpos esféricos de massas M 1 e M 2 , inicialmente em repouso e com centros afastados da distância r 0 , começam a se movimentar um em direção ao outro movidos pela atração gravitacional. A) Mostre que M 1 v 1 = - M 2 v 2 , onde v 1 e v 2 são as velocidades dos corpos. B) Calcule v 1 e v 2 quando a distância entre os centros dos corpos é r .

Passo 1

Show de bola pessoal, como estamos falando de dois corpos entrando em rota de colisão sem nenhuma força externa atuando sobre eles, temos que a conservação do momento linear vai atuar sobre o movimento, ou seja:

P i = P f

Isto é, o momento linear inicial será igual o momento linear final. Mas no momento inicial, ambos os corpos estão parados, tal que:

P i = 0

Mas no instante posterior, ambos os corpos possuem velocidades v 1 e v 2 , de forma que:

P f = M 1 v 1 + M 2 v 2

E igualando esses momentos lineares, obtemos que:

M 1 v 1 + M 2 v 2 = 0

M 1 v 1 = - M 2 v 2

Passo 2

Agora na letra (B), queremos ir além e calcular a velocidade de cada um desses corpos esféricos quando a distância for r .

Mas calma lá chefe, agora a gente pode ser malandrão novamente, e lançar a braba pra cima dele, saca só, no momento inicial a única coisa que os corpos possuem é energia potencial gravitacional dada pela distância r 0 entre eles, tal que:

E i = - G M 1 M 2 r 0

E no instante posterior, o sistema vai possuir energia cinética devido as velocidades de cada corpo esférico, MAAAAAAAS, além dessa energia cinética, o corpo vai continuar possui uma energia potencial gravitacional devido a distância ainda existente entre eles r , de forma que a energia mecânica nesse instante é:

E f = 1 2 M 1 v 1 2 + 1 2 M 2 v 2 2 + - G M 1 M 2 r

Passo 3

Então se a gente, de maneira sagaz, usar da conservação da energia mecânica e igualar as energias que encontramos, vamos obter que:

E i = E f

- G M 1 M 2 r 0 = 1 2 M 1 v 1 2 + 1 2 M 2 v 2 2 + - G M 1 M 2 r

E dando uma organizadinha, temos que:

G M 1 M 2 r - G M 1 M 2 r 0 = 1 2 M 1 v 1 2 + 1 2 M 2 v 2 2

G M 1 M 2 1 r - 1 r 0 = 1 2 M 1 v 1 2 + 1 2 M 2 v 2 2

E agora, lembrando do nosso item (A), que provamos que M 1 v 1 = - M 2 v 2 , podemos fazer:

- M 1 M 2 v 1 = v 2

Logo, nossa expressão se torna:

G M 1 M 2 1 r - 1 r 0 = 1 2 M 1 v 1 2 + 1 2 M 2 - M 1 M 2 v 1 2

E agora sim, só a gente fazer mais algumas manipulações, saca só:

2 G M 1 M 2 1 r - 1 r 0 = M 1 v 1 2 + M 1 2 M 2 v 1 2

2 G M 2 1 r - 1 r 0 = v 1 2 + M 1 M 2 v 1 2

E agora colocando v 1 em evidência, temos:

2 G M 2 1 r - 1 r 0 = v 1 2 1 + M 1 M 2

2 G M 2 1 r - 1 r 0 = v 1 2 M 2 + M 1 M 2

Logo:

2 G M 2 2 1 r - 1 r 0 = v 1 2 M 2 + M 1

Portanto a velocidade final v 1 será:

v 1 = 2 G M 2 2 M 2 + M 1 1 r - 1 r 0

E pra encontrar a velocidade v 2 podemos usar nossa queridíssima relação:

v 2 = - M 1 M 2 v 1

Logo:

v 2 = - M 1 M 2 2 G M 2 2 M 2 + M 1 1 r - 1 r 0

v 2 = - M 1 M 2 2 2 G M 2 2 M 2 + M 1 1 r - 1 r 0

v 2 = - 2 G M 1 2 M 2 + M 1 1 r - 1 r 0

Resposta

  1. Demonstração
  2. v 1 = 2 G M 2 2 M 2 + M 1 1 r - 1 r 0 ,   v 2 = - M 1 M 2 v 1
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O diâmetro angular aparente do Sol visto da Terra (ângulo subentendido pelo disco solar) é de 0,55 ° . Utilizando apenas estes dados, juntamente com o período da órbita da Terra em torno do Sol, aprox
Uma espaçonave está viajando ao longo da reta que liga o centro da Terra ao centro da Lua. A que distância da Terra a força gravitacional total que a Terra e a Lua exercem sobre a a nave é zero?
Um satélite de 125k g de massa está em uma órbita circular de raio 7,00.10 6m em torno de um planeta. Se o período é 8050s , qual é a energia mecânica do satélite?
Qual é a variação percentual da aceleração percentual da aceleração da Terra em direção ao Sol quando o alinhamento entre a Terra, o Sol e a Lua muda de um eclipse do Sol (com a Lua entre a Terra e o
Vários planetas (Júpiter, Saturno, Urano) possuem anéis, talvez formados por fragmentos que não chegaram a formar um satélite. Muitas galáxias também contêm estruturas em forma de anéis. Considere um