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Exercícios Resolvidos de Alaor Chaves - Mecânica 1ª Ed.

Enunciado

Física - Alaor Chaves - Mecânica 1ª Ed. - 11.Exercícios e Problemas - 20

11.20P Três esferas, cada uma com massa m , estão dispostas nos vértices de um triângulo equilátero de lado l . A) Mostre que a força gravitacional sobre cada esfera dirige-se para o centro do triângulo e calcule a intensidade de tal força. B) Mostre que em um movimento sincronizado das esferas, elas podem orbitar em torno do centro de massa comum, que é o centro do triângulo, e calcule a velocidade angular do sistema.

Passo 1

Belezoca galerinha, se a gente montar esse triângulo, vamos ter que:

Agora se por exemplo a gente fosse montar os pares de força que atuam sobre a esfera da esquerda, teríamos uma atração gravitacional com a esfera superior, e uma atração gravitacional com a esfera ao lado:

E como temos forças iguais atuando em direções diferentes, a resultante entre elas vai passar pela bissetriz dos vetores, tal que:

E se a gente traçar retas bissetrizes para todas as massas, vamos obter:

E a interseção entre essas bissetrizes é exatamente o centro do triângulo, logo:

Então sim, a resultante, está apontando para o centro do triângulo.

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Passo 2

Iradoso, e agora pra gente calcular a intensidade dessa força, podemos ser malandrinhos mais uma vez e fingir que existe um eixo x y exatamente onde está a massa que estamos trabalhando:

Sendo assim, podemos decompor aquela força F → 1 que não está no eixo, lembrando que como se trata de um triângulo equilátero, o ângulo entre os lados é de 60 ° , tal que:

F → 1 = F sen ⁡ 60   î + F cos ⁡ 60   j ^

F → 1 = 1 2 F   î + 3 2 F   j ^

E como essa força, é a força gravitacional entre as partículas de massa m distantes pelo lado do triângulo de tamanho L , teremos que:

F = G m m L 2

F = G m 2 L 2

Tal que a força F → 1 é:

F → 1 = 1 2 G m 2 L 2   î + 3 2 G m 2 L 2   j ^

Logo a soma das forças é:

F → R = F → 1 + F → 2

F → R = 1 2 G m 2 L 2   î + 3 2 G m 2 L 2   j ^ + G m 2 L 2   î

Portanto a força resultante será:

F → R = 3 2 G m 2 L 2   î + 3 2 G m 2 L 2   j ^

F → R = G m 2 L 2 3 2   î + 3 2   j ^

Passo 3

Show de bolinhas, então a intensidade dessa força, vai ser o módulo dela, e se a gente calcular ela, vamos obter que:

F → R = G m 2 L 2 3 2 2 + 3 2   2

F → R = G m 2 L 2 9 4 + 3 4

F → R = G m 2 L 2 12 4

Portanto, a intensidade da força é:

F → R = 3 G m 2 L 2

Passo 4

Agora, como o sistema está em movimento circular, em torno do centro do triângulo, temos que a força gravitacional resultante, que aponta para o centro, é exatamente igual a força centrípeta devido a rotação:

F → R = F C P

E essa força centrípeta é dada pelo produto da massa pela aceleração centrípeta:

F C P = m a C P

Onde essa aceleração centrípeta é dada pela expressão:

a C P = v 2 r

Em que v é a velocidade linear que podemos relacionar com a velocidade angular ω através da expressão:

v = ω r

Enquanto r é distância da massa m até o centro do triângulo:

Tal que:

r cos ⁡ 30 = L 2

3 2 r = L 2

Logo:

r = 3 3 L

Portanto a aceleração centrípeta é:

a C P = ω r 2 r

a C P = ω 2 r

a C P = ω 2 3 3 L

E a força centrípeta:

F C P = m ω 2 3 3 L

Passo 5

Então se a gente igualar as força, vamos obter que:

m ω 2 3 3 L = 3 G m 2 L 2

E isolando a velocidade angular:

ω 2 1 3 L = G m L 2

ω 2 = 3 G m L 3

Logo:

ω = 3 G m L 3

Resposta

  1. F → R = 3 G m 2 L 2
  2. ω = 3 G m L 3

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