Considere a expressão da energia de Bohr (Equação 30.13) de modo que ela se aplique ao hélio simplesmente ionizado \mathrm{He}^{+}(Z=2) e ao lítio duplamente ionizado \mathrm{Li}^{2+}(Z=3). Essa expressão prevê energias do elétron iguais para essas duas espécies para certos valores do número quântico n (o número quântico é diferente para cada espécie). Para números quânticos menores ou iguais a 9, quais as três energias mais baixas (em elétrons-volts) para as quais o nível de energia do hélio é igual ao nível de energia do lítio?

Passo 1

O enunciado pede para achar os níveis de energia iguais para \mathrm{He}^+ Z=2 e \mathrm{Li}^{2+} Z=3 usando o modelo de Bohr. Vamos usar a expressão de Bohr para a energia do estado n,
E_n = -13{,}6\,\mathrm{eV}\,\frac{Z^2}{n^2},
e buscar pares de números quânticos n_1 e n_2 (ambos \le9) tais que E_{He}(n_1)=E_{Li}(n_2).

Passo 2

Igualando as energias obtemos
-13{,}6\,\frac{2^2}{n_1^2} \;=\;-13{,}6\,\frac{3^2}{n_2^2}
e, cancelando -13{,}6,
\frac{4}{n_1^2} \;=\;\frac{9}{n_2^2} \quad\Longrightarrow\quad 4\,n_2^2 = 9\,n_1^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{n_2}{n_1} = \frac{3}{2}.

Passo 3

Como n_2/n_1=3/2 deve ser inteiro, n_1 precisa ser par. Os pares (n_1,n_2) com ambos \le9 são:
(n_1,n_2) = (2,3),\;(4,6),\;(6,9).

Passo 4

Calculamos cada energia por
E = -13{,}6\,\mathrm{eV}\,\frac{4}{n_1^2} = -\frac{54{,}4}{n_1^2}\,\mathrm{eV}.
Para (2,3): E=-54{,}4/4=-13{,}6\,\mathrm{eV}.
Para (4,6): E=-54{,}4/16=-3{,}40\,\mathrm{eV}.
Para (6,9): E=-54{,}4/36\approx -1{,}51\,\mathrm{eV}.

Resposta

-13{,}6\\ \mathrm{eV},\;-3{,}40\\ \mathrm{eV},\;-1{,}51\\ \mathrm{eV}

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