*5. Existem Z prótons no núcleo de um átomo, em que Z é o número atômico do elemento. Uma partícula \alpha transporta uma carga de +2 e. Em um experimento de espalhamento, uma partícula \alpha, se dirigindo diretamente para um núcleo em uma lâmina de metal, chegará ao repouso quando toda a energia cinética da partícula for convertida para energia potencial elétrica. Em tal situação, quão perto uma partícula \alpha com uma energia cinética de 5,0 \times 10^{-13} \mathrm{~J} consegue chegar de um núcleo de ouro (Z=79) ?

Passo 1

O enunciado propõe um espalhamento α–partícula (carga +2e) contra um núcleo de ouro com Z=79 prótons. A ideia é que, no ponto de aproximação mínima, toda a energia cinética inicial da partícula E_{\rm cin}=5,0\times10^{-13}\,\mathrm{J} se converte em energia potencial eletrostática de Coulomb entre as cargas.

Passo 2

A energia potencial eletrostática de duas cargas pontuais q_1 e q_2 separadas por uma distância r é dada por
U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{q_1\,q_2}{r}.
Pela conservação de energia, no ponto de parada temos
E_{\rm cin} = U.

Passo 3

Substituindo q_1 = 2e, q_2 = Z e e resolvendo para r, obtemos
r = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{(2e)\,(Z e)}{E_{\rm cin}}.
Usando \epsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{C^2/(N\,m^2)}, e = 1{,}60\times10^{-19}\,\mathrm{C}, Z = 79 e E_{\rm cin} = 5,0\times10^{-13}\,\mathrm{J},
podemos simplificar escrevendo 1/(4\pi\epsilon_0)=8,99\times10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}. Logo,
r = \frac{(8,99\times10^9)\,(2\cdot79)\,(1,60\times10^{-19})^2}{5,0\times10^{-13}} \approx 7,3\times10^{-14}\,\mathrm{m}.

Resposta

A partícula α chega, no máximo, a cerca de
7{,}3\times10^{-14}\,\mathrm{m}
do núcleo de ouro.

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