Considere uma partícula quântica deslocando-se em uma caixa unidimensional cujas paredes estão a x=-L / 2 e x=L / 2.
Expresse as funções de onda e as densidades de probabilidade para n=1, n=2 e n=3.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula livre num poço infinito unidimensional que vai de x=-L/2 até x=+L/2. Precisamos encontrar as autofunções estacionárias psin(x) da equação de Schrödinger independente do tempo e, em seguida, a densidade de probabilidade rhon(x)=|psin(x)|^2 para n=1,2,3.

Passo 2

Dentro do poço a energia potencial é zero, então a equação de Schrödinger independente do tempo reduz-se a
-hbar^22m,d^2psidx^2=E,psi
cuja solução geral é
psi(x)=Asin(kx)+Bcos(kx),
com k^2=2mEhbar^2. As condições de contorno são
psil(-L/2r)=0, psil(+L/2r)=0,
o que leva a valores discretos
kn = npiL, n=1,2,3,dots
e a escolha de funções pares (cosseno) para n ímpar e ímpares (seno) para n par.

Passo 3

Após impor as condições de contorno, as autofunções normalizadas ficam
psin(x) = raiz2L;cos!l(npi x/Lr), & n=1,3,5,dots, raiz2L;sin!l(npi x/Lr), & n=2,4,6,dots
O fator raiz2/L surge da condição de normalização
integral-L/2^L/2|psin(x)|^2,dx=1

Passo 4

Substituindo n=1,2,3 na fórmula acima, obtemos
psi1(x)=raiz2L;cos!l(pi x/Lr), psi2(x)=raiz2L;sin!l(2pi x/Lr), psi3(x)=raiz2L;cos!l(3pi x/Lr)

Passo 5

A densidade de probabilidade é rhon(x)=|psin(x)|^2, logo
rho1(x)=2L,cos^2!l(pi x/Lr), rho2(x)=2L,sin^2!l(2pi x/Lr), rho3(x)=2L,cos^2!l(3pi x/Lr)

Resposta

psi1(x)=raiztfrac2Lcos!l(tfracpi xLr), psi2(x)=raiztfrac2Lsin!l(tfrac2pi xLr), psi3(x)=raiztfrac2Lcos!l(tfrac3pi xLr) rho1(x)=tfrac2Lcos^2!l(tfracpi xLr), rho2(x)=tfrac2Lsin^2!l(tfrac2pi xLr), rho3(x)=tfrac2Lcos^2!l(tfrac3pi xLr)

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