Considere uma partícula quântica deslocando-se em uma caixa unidimensional cujas paredes estão a .
Esboce-as.
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula livre numa caixa unidimensional de potencial infinito com paredes em e . O objetivo é encontrar as suas funções próprias estacionárias e, em seguida, esboçá-las. Para isso usaremos a equação de Schr"odinger independente do tempo e as condições de contorno .
Passo 2
Dentro da caixa o potencial é zero, logo a equação de Schr"odinger independente do tempo é
Definindo , obtemos a equação
cuja solução geral é
Passo 3
Impondo as condições de contorno temos dois casos não triviais:
Se e , então , levando aque gera funções de paridade par (cosseno).
Se e , então , levando aque gera funções de paridade ímpar (seno).
Passo 4
Reindexando de modo a usar
e as funções próprias normalizadas ficam
com (\psi_n(\pm L/2)=0].]
Passo 5
Vamos esboçar qualitativamente psi1, psi2 e psi3 no intervalo [-L/2,L/2]:
1.psi1(x)=raiz2/L,cos(pi x/L)
tem um único “lobo” simétrico, máximo em x=0 e zeros em pm L/2.
2.psi2(x)=raiz2/L,sin(2pi x/L)
tem duas “orelhas” de sinal oposto, nó em x=0 e zeros em pm L/2.
3.psi3(x)=raiz2/L,cos(3pi x/L)
tem três lobos (dois nós internos), máximo positivo em x=0 e zeros em pm L/2.
Esses esboços têm a forma típica de cossenos para n ímpar e de senos para n par, sempre encaixando as extremidades em zero.
Resposta
Esquema qualitativo de psi1,psi2,psi3 em [-L/2,L/2]:
psi1(x) – lobo único (cosseno), psi2(x) – dois lobos com nó central (seno), psi3(x) – três lobos (cosseno), todos com psi(pm L/2)=0.
Física - Serway e Jewett - Física para cientistas e engenheiros - Vol 4 - 8ª Edição - Capítulo 7.Problemas - Ex. 26.b