Considere uma partícula quântica deslocando-se em uma caixa unidimensional cujas paredes estão a x=-L / 2 e x=L / 2.
Esboce-as.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula livre numa caixa unidimensional de potencial infinito com paredes em -L/2 e L/2. O objetivo é encontrar as suas funções próprias estacionárias psin(x) e, em seguida, esboçá-las. Para isso usaremos a equação de Schr"odinger independente do tempo e as condições de contorno psi(pm L/2)=0.

Passo 2

Dentro da caixa o potencial é zero, logo a equação de Schr"odinger independente do tempo é
-hbar^22m,d^2psidx^2(x)=E,psi(x)
Definindo k^2=2mE/hbar^2, obtemos a equação
d^2psidx^2(x)+k^2,psi(x)=0,
cuja solução geral é
psi(x)=Acos(kx)+Bsin(kx)

Passo 3

Impondo as condições de contorno psi(pm L/2)=0 temos dois casos não triviais:
  • Se Aneq0 e B=0, então cos(kL/2)=0, levando a k,L2=(2n+1)pi2Longrightarrow k=(2n+1)piL, n=0,1,2,dots que gera funções de paridade par (cosseno).
  • Se A=0 e Bneq0, então sin(kL/2)=0, levando a k,L2=npiLongrightarrow k=2npiL, n=1,2,3,dots que gera funções de paridade ímpar (seno).

Passo 4

Reindexando de modo a usar
e as funções próprias normalizadas ficam
í
com (\psi_n(\pm L/2)=0].]

Passo 5

Vamos esboçar qualitativamente psi1, psi2 e psi3 no intervalo [-L/2,L/2]:
1. psi1(x)=raiz2/L,cos(pi x/L)
tem um único “lobo” simétrico, máximo em x=0 e zeros em pm L/2.
2. psi2(x)=raiz2/L,sin(2pi x/L)
tem duas “orelhas” de sinal oposto, nó em x=0 e zeros em pm L/2.
3. psi3(x)=raiz2/L,cos(3pi x/L)
tem três lobos (dois nós internos), máximo positivo em x=0 e zeros em pm L/2.
Esses esboços têm a forma típica de cossenos para n ímpar e de senos para n par, sempre encaixando as extremidades em zero.

Resposta

Esquema qualitativo de psi1,psi2,psi3 em [-L/2,L/2]:
psi1(x) – lobo único (cosseno),
psi2(x) – dois lobos com nó central (seno),
psi3(x) – três lobos (cosseno), todos com psi(pm L/2)=0.

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